日期: 2023-11-05 21:55 查看: 276 次编辑导出

初等函数求导

如果函数 $y=f(x)$ 在其定义域内的每一点 $x$ 都可导, 则称 $f(x)$ 可导. 此时, 对定义域内的每一个值 $x$, 都对应一个确定的导数 $f^{\prime}(x)$. 于是, 在 $f(x)$ 的定义域内, $f^{\prime}(x)$ 是一个函数, 这个函数通常称为函数 $y=f(x)$ 的导函数, 记作 $f^{\prime}(x)$ (或 $y^{\prime}, y_x^{\prime}$ ), 即

$$
f^{\prime}(x)=y^{\prime}=y_x^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} .
$$

导函数通常也简称为导数.  当然, 如果已知函数 $f(x)$ 的导函数是 $f^{\prime}(x)$, 那么可以方便地求得这个函数在 $x=x_0$ 处的导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ : 只要将 $x=x_0$ 代人导函数的表达式即可. 这也说明, 如果函数 $f(x)$ 的导函数存在, 那么曲线 $y=f(x)$ 在每一点处的切线都存在.

初等函数求导公式（高中版）

1. $C^{\prime}=0$
2. $(\sin x)^{\prime}=\cos x$
3. $(\tan x)^{\prime}=\sec ^2 x$
4. $\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$
5. $\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$
6. $\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}$
7. $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$
8. $\left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x$
9. $(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$

例1 已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x, g(x)=\ln x$, 求 $f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$.
解 在 $\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$ 中令 $a=\mathrm{e}$, 可得

$$
\left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x \ln \mathrm{e}=\mathrm{e}^x,
$$

因此 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x$.
在 $\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$ 中令 $a=\mathrm{e}$, 可得 $\left(\log _{\mathrm{e}} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln \mathrm{e}}$, 即

$$
(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x},
$$

因此 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$.

例2 求曲线 $y=\sin x$ 在 $(0, \sin 0)$ 处的切线方程.

解 因为 $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, 因此所求切线的斜率为 $\cos 0=1$, 又因为 $\sin 0=0$, 因此所求切线方程为

$$
y-0=1(x-0),
$$

即 $y=x$.

初等函数求导公式（大学版）

1. $C^{\prime}=0$
2. $(\sin x)^{\prime}=\cos x$
3. $(\tan x)^{\prime}=\sec ^2 x$
4. $(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x$
5. $\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$
6. $\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$
7. $(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
8. $(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}$
9. ${ }^*(\operatorname{sh} x)=\operatorname{ch} x$
10. $({th} x)=\frac{1}{\operatorname{ch}^2 x}$
11. $({arch} x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
12. $\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}$
13. $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$
14. $(\cot x)^{\prime}=-\csc ^2 x$
15. $(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x$
16. $\left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x$
17. $(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$
18. $(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
19. $(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^2}$
20. $(\operatorname{ch} x)=\operatorname{sh} x$
21. $(\operatorname{arsh} x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
22. $(\operatorname{arth} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

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