日期: 2023-10-06 08:22 查看: 162 次编辑导出

球坐标

## 球座标系

球座标系 (英语: spherical coordinate system) 是数学上利用球座标 $(r, \theta, \varphi$ )表示一个点 $\mathrm{P}$ 在二维空间 distance) $r$ ，原点到点 $\mathrm{P}$ 的连线与正 $z$-轴之间的“极角” (polar angle) $\theta$ ，以及原点到点 $\mathrm{P}$ 的连线在xy-平 面的投影线，与正x-轴之间的“方位角” (azimuth angle) $\varphi$ 。它可以被视为极坐标系的三维推广。球座 标的概念，延伸至高维空间，则称为超球座标。
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## 球坐标与直角坐标的转换。

参考下图
![图片](/uploads/2023-10/e9e90f.svg){width=400px}

使用以下等式，可从直角坐标变换为球坐标:

$$
\begin{aligned}
& r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\
& \theta=\arccos \left(\frac{z}{r}\right)=\arcsin \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r}\right)=\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right), \\
& \varphi=\arccos \left(\frac{x}{r \sin \theta}\right)=\arcsin \left(\frac{y}{r \sin \theta}\right)=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) .
\end{aligned}
$$

计算 $\varphi$ 时:

1. 必须依照 $(x, y)$ 所处的象限来计算正确的反正切值。
2. 当 $x=0$ 时，判断 $y$ 的值:
   若 $y>0$ ，则 $\varphi=\frac{\pi}{2}$ ，
   若 $y<0$ ，则 $\varphi=-\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3 \pi}{2}$ ，
   若 $y=0$ ，则 $\varphi$ 为末定值 (因为 $\frac{0}{0}$ 为末定式)。
   反过来，也可从球座标变换为直角座标:

$$
\begin{aligned}
& x=r \sin \theta \cos \varphi \\
& y=r \sin \theta \sin \varphi \\
& z=r \cos \theta
\end{aligned}
$$

## 球坐标系中矢量的两种表示方法

球坐标系中，表示矢量的一种简单方法是直接规定矢量以原点为起点，以球坐标 $(r, \theta, \phi)$ 的点为终点。但这样表示的 缺点是两个矢量相加 (减) 不能直接表示为三个分量的加，而是要经过一些繁琐的变换，例如先变换到直角坐标系中，相加后再变回球坐标中。
更常见的方法，是将矢量投影到球坐标的 3 个单位矢量 $\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}}, \hat{\boldsymbol{\phi}}$ 上，用单位矢量的线性组合来表示。但由于单位矢量的方向取决于坐标，要说明是关于哪个点的单位矢量。在矢量分析中，这种方法常用于表示**矢量场**，即每个位置对应一个矢量。

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