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高等数学
第二章 一元函数微分学及其应用
相关变化率
日期:
2023-10-01 11:28
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相关变化率
设 $x=\varphi(t) 、 y=\psi(t)$ 均可导，且由 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ 确定了 $x$ 与 $y$ 之间存在着某种 关系，这样 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}$ 与 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}$ (变化率) 之间也存在一定的关系，这两个相互依赖的变 化率称为相关变化率. 我们研究这种关系，就是希望从一个已知的变化率求 出另一个末知的变化率. 例 23 一长为 $5 \mathrm{~m}$ 的梯子斜靠在墙上. 如果梯子下端以 $0.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速率滑离墙壁， 试求梯子下端离墙 $3 \mathrm{~m}$ 时，梯子上端向下滑落的速率.  解 如图2-11所示， $x$ 表示梯子下端离墙的距离， $y$ 表示梯子上端到地面的距 离， 这里 $x ， y$ 都是时间 $t$ 的函数，于是 $x^2+y^2=25$. 两边对 $t$ 求导，得 $$ 2 x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}+2 y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=0 \text {, 即 } \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=-\frac{x}{y} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \text {. } $$ 注意到 $x=3, y=4$ 以及 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=0.5$, 代入得 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=-\frac{3}{8}, $$ 即梯子上端向下滑落的速率为 $\frac{3}{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.
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