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高等数学
第三章 一元函数积分
空间立体的体积
日期:
2023-10-01 11:28
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空间立体的体积
1、施转体 由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，称为旋转体. 其 中该条直线就称为旋转轴. 圆柱、圆雉、圆台、球均可当作旋转体(见图 3-36).  建立直角坐标系如图(见图 3-37)，平面图形 $A$ 由曲线 $y=f(x)(f(x)>0)$ ，直 线 $x=a ， x=b(a<b)$ 及 $x$ 轴所围成， $\Omega$ 为 $A$ 绕 $x$ 轴旋转一周而成的立体，选 $x$ 为积分变量， $x \in[a, b]$ ，任取 $[x, x+\mathrm{d} x]$ ，则在 $[x, x+\mathrm{d} x]$ 上的小旋转体体积可以 近似的等于底面积为 $\pi f^2(x)$ ，以 $\mathrm{d} x$ 为高的薄柱体体积，即体积元素为 $$ \mathrm{d} V_x=\pi f^2(x) \mathrm{d} x ， $$ 故 $[a, b]$ 上的旋转体体积为 $$ V_x=\pi \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x . $$  若 $\Omega^{\prime}$ 为 $A$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的立体，则选 $x$ 为积分变量， $x \in[a, b]$ ，任 取 $[x, x+\mathrm{d} x]$ (见图 3-38)，则在 $[x, x+\mathrm{d} x]$ 上的小旋转体体积可以近似的等于内表 面积为 $2 \pi f(x)$ ，厚为 $\mathrm{d} x$ 的薄柱壳体积(见图 3-39)，即体积元素为 $\mathrm{d} V_y=2 \pi x f(x) \mathrm{d} x$ ， 故 $[a, b]$ 上的旋转体体积为 $V_y=2 \pi \int_a^b x f(x) \mathrm{d} x$.  类似的，若平面图形 $A$ 由曲线 $x=g(y)(g(y)>0)$ ， 直线 $y=c 、 y=d(c<d)$ 及 $y$ 轴所围成， $\Omega$ 为 $A$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的立体为 $V_y=\pi \int_c^d g^2(y) \mathrm{d} y$ (见图 3-40)； 绕 $x$ 轴旋转一周而成的立体为 $V_x=2 \pi \int_c^d y g(y) \mathrm{d} y$.  例 7 求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 分别绕 $x$ 轴与 $y$ 轴旋转而得的旋转体的体积. 解 求椭圆绕 $x$ 轴旋转而得的旋转体的 体积 $V_x$. 由椭圆的方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 得 $y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}$ ，如图 3-41 所示. 上半椭圆绕 $x$ 轴旋转与下半椭圆绕 $x$ 轴旋转而得的结果相同, 故绕 $x$ 轴旋转的 旋转体的体积为 $$ \begin{aligned} V_x & =\int_{-a}^a \pi y^2 \mathrm{~d} x=\pi \int_{-a}^a \frac{b^2}{a^2}\left(a^2-x^2\right) \mathrm{d} x \\ & =2 \pi \cdot \frac{b^2}{a^2} \int_0^a\left(a^2-x^2\right) \mathrm{d} x \\ & =\left.2 \pi \cdot \frac{b^2}{a^2}\left(a^2 x-\frac{1}{3} x^3\right)\right|_0 ^a \\ & =\frac{4}{3} \pi a b^2 . \end{aligned} $$  同理得椭圆绕 $y$ 轴旋转而得的旋转体的体积为 $$ \begin{aligned} V_y & =\int_{-b}^b \pi x^2 \mathrm{~d} y=2 \pi \frac{a^2}{b^2} \int_0^b\left(b^2-y^2\right) \mathrm{d} y \\ & =\left.2 \pi \frac{a^2}{b^2}\left(b^2 y-\frac{1}{3} y^3\right)\right|_0 ^b \\ & =\frac{4}{3} \pi a^2 b . \end{aligned} $$ 特别地，若 $a=b=R$ 即得球体的体积公式为 $V=\frac{4}{3} \pi R^3$. 例 8 求星行线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ (见图 3-42) 绕 $x$ 轴旋构成旋转体的体积. 解 体积微元 $$ \mathrm{d} V=\pi\left(a^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}}\right)^3 \mathrm{~d} x $$ 所求体积 $$ V=\int_{-a}^a \pi\left(a^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}}\right)^3 \mathrm{~d} x=\frac{32}{105} \pi a^3 . $$  例 9 求曲线 $x y=4, y=1, y=2$ 所围成的图形(见图 3-43)绕 $y$ 轴旋转构成旋转 体的体积. 解 体积微元: $$ \mathrm{d} V=\pi x^2 \mathrm{~d} y=\pi \frac{16}{y^2} \mathrm{~d} y, $$ 所求体积: $$ V=\pi \int_1^2 \frac{16}{y^2} \mathrm{~d} y=\left.\pi\left[-\frac{16}{y}\right]\right|_1 ^2=8 \pi . $$  例 10 求由摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.$ 的一拱， $x$ 轴所围的图形(见图 3-44)分别绕 $x$ 轴、 $y$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积. $$ \text { 解 } \begin{aligned} V_x & =\pi \int_0^{2 \pi a} y^2 \mathrm{~d} x=\pi \int_0^{2 \pi} a^2(1-\cos t)^2 a(1-\cos t) \mathrm{d} t \\ & =\pi a^3 \int_0^{2 \pi}\left(1-3 \cos t+3 \cos ^2 t-\cos ^3 t\right) \mathrm{d} t=5 \pi^2 a^3 ; \\ V_y & =2 \pi \int_0^{2 \pi a} x y \mathrm{~d} x=2 \pi \int_0^{2 \pi} a(t-\sin t) a(1-\cos t) a(1-\cos t) \mathrm{d} t=6 \pi^3 a^3 . \end{aligned} $$  2、平行截囬匡积为已知的立体的体积 由曲线 $y=f(x)(f(x)>0)$ ，直线 $x=a$ ， $x=b(a<b)$ 及 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周 而成的立体体积为 $V_x=\pi \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x$ ，其 中 被 积 函数 $\pi f^2(x)$ 即为立体过点 $x$ 且垂直于 $x$ 轴的截面面 积，记为 $S(x)$ (见图 3-45). 故旋转体的体积公 式可写为 $V_x=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x$. 现将此结果推广到一般 的已知截面面积的立体体积.  设有一个立体，它被垂直于某条直线 (例如 $x$ 轴) 的平面所截的截面面积 $S(x)$ 为 $x$ 的连 续函数，且此物体的位置在平面 $x=a$ 与 $x=b$ 之间，(见图 3-46)，求其体积 $V$. 若取定轴为 $x$ 轴，设 $S(x)(a \leq x \leq b)$ 表示过点 $x$ 且垂直于 $x$ 轴的截面面积，取 $x$ 为积分变 量，它的变化区间为 $[a, b]$ ；立体中相应于 $[a, b]$ 上任一小区间 $[x, x+d x]$ 的薄片体积，近似 的等于底面积为 $S(x)$ ，高为 $\mathrm{d} x$ 的柱体体积，即体积元素为 $$ \mathrm{d} V=S(x) \mathrm{d} x \text { ， } $$ 则 $$ V=\int_a^b S(x) d x $$  例 11 一平面经过半径为 的圆柱体的底圆中心并与底面交成角 (见图 3-47)， 计算这平面截圆柱体所得的立体的体积.  解 若设底圆的方程为 $x^2+y^2=R^2$ ，则立体中过 点 $x$ 且垂直于 $x$ 轴的截面是一个直角三角形，其两条直 角边长分别为 $y ， y \tan \alpha$ ，即 $\sqrt{R^2-x^2} ， \sqrt{R^2-x^2} \tan \alpha$ ， 故 因此 $$ S(x)=\frac{1}{2} y \cdot y \tan \alpha=\frac{1}{2}\left(R^2-x^2\right) \tan \alpha ， $$ $$ V=\int_{-R}^R S(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \tan \alpha \int_{-R}^R\left(R^2-x^2\right) \mathrm{d} x=\left.\tan \alpha\left(R^2 x-\frac{1}{3} x^3\right)\right|_0 ^R=\frac{L}{3} R^3 \tan \alpha . $$  例 12 求 $x^2+y^2=a^2 ， y^2+z^2=a^2$ 两柱面所围立体的体积 (见图 3-48). 解 由对称性， $V=8 V_1$ （其中 $V$ 为在第一 象限内部分的体积)， $$ \begin{aligned} & S(x)=\sqrt{a^2-x^2} \cdot \sqrt{a^2-x^2}=\left(a^2-x^2\right), \quad x \in[0, a], \\ & V=8 V_1=8 \int_0^a\left(a^2-x^2\right) \mathrm{d} x=\left.8\left(a^2 x-\frac{1}{3} x^3\right)\right|_0 ^a=\frac{16}{3} a^3 . \end{aligned} $$ 
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