日期: 2023-10-01 11:28 查看: 203 次编辑导出

无限区间上的反常积分

定积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 对被积函数和积分区间都有要求.
(1)积分区间为 $[a, b]$, 是有限区间;
(2)被积函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是有界的,一般还要求是连续的.
然而在实际问题中, 往往会遇到不满足上述条件的情形. 例如, 将火箭发射到 远离地球的太空中去, 要计算克服地心引力所作的功, 这就需要考虑积分区间为无 限的积分. 因此有必要推广定积分的概念,即把积分区间扩展到无穷区间,比如: $(-\infty, b],[a,+\infty)$ 或 $(-\infty,+\infty)$, 或者被积函数 $f(x)$ 在积分区间内是无界时的情形, 从而形成“反常积分”(广义积分)的概念, 而原来的定积分可以称为常义积分.

先看几个定积分：

$$
\begin{aligned}
& \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\left.\arctan x\right|_0 ^1=\arctan 1=\frac{\pi}{4}, \\
& \int_0^b \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\left.\arctan x\right|_0 ^b=\arctan b ; \\
& \int_1^2 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\ln x\right|_1 ^2=\ln 2, \\
& \int_1^b \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\ln x\right|_1 ^b=\ln b .
\end{aligned}
$$

定积分的几何意义是在对应区间上曲边梯形面积的代数和.. 现在我们让 $b \rightarrow+\infty$ ，取 对应的定积分的极限，则有

$$
\begin{aligned}
& \lim _{b \rightarrow+\infty} \int_0^b \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\left.\lim _{b \rightarrow+\infty} \arctan x\right|_0 ^b=\lim _{b \rightarrow+\infty} \arctan b=\frac{\pi}{2} ; \\
& \lim _{b \rightarrow+\infty} \int_1^b \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\lim _{b \rightarrow+\infty} \ln x\right|_1 ^b=\lim _{b \rightarrow+\infty} \ln b=+\infty .
\end{aligned}
$$

曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}$ 与 $y$ 轴， $x$ 轴正半轴所“围”的图形可以向 $x$ 轴正方向无限延伸 (见图 3-54)，且有“有限”面积 $\frac{\pi}{2}$, 对应的积分极限存在; 而曲线 $y=\frac{1}{x}$ ，与 $x=1$ ， $x$ 轴正半轴所“围”的图形也可以向 $x$ 轴正方向无限延伸 (见图 3-55) ， 同时“面 积”也无限增大, 故对应的极限不存在. 这就是我们这一节要讨论的反常积分的 “几何意义". 下面给出反常积分的定义.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212300f98c97.png)
定义 1 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, b]$ 上连续， 取 $a<b$ ，如果极限 $\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\infty, b]$ 上的反常积分， 记作 $\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x$ ，即

$$
\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x .
$$

这时也称反常积分 $\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x$ 收玫. 如果这个极限不存在，则称反常积分 $\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散.
从定义中看出一个反常积分化为计算定积分与取极限两部分,这都是我们 熟悉的知识; 同时 $a$ 是任意取的，因此 $\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=A$ 必须对任意一种趋近 方式都成立.
当反常积分 $\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x$ 收玫时， $\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x$ 表示一个数，而当反常积分 $\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散时， $\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x$ 仅是一个符号.
同样可以定义区间 $[a,+\infty)$ 或 $(-\infty,+\infty)$ 上的反常积分.
定义 2 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续，取 $b>a$ ，如果极限 $\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[a,+\infty)$ 上的反常积分， 记作 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 即

$$
\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x .
$$

这时也称反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛. 如果这个极限不存在，则称反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散.

定义 3 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，若 $\int_{-\infty}^c f(x) \mathrm{d} x ， \int_c^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均收玫，
则称上述两反常积分之和为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\infty,+\infty)$ 内的反常积分，
记作 $\quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ，
即 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^c f(x) \mathrm{d} x+\int_c^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$
也称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{dx}$ 收敛，否则就称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散.

如果 $F(+\infty) 、 F(-\infty)$ 均存在，则
若 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ，则 $\int_a^x f(x) \mathrm{d} x=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t=F(x)-F(a)$.
记 $F(+\infty)=\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x), F(-\infty)=\lim _{x \rightarrow-\infty} F(x)$ ，
则广义积分可表示为

$$
\begin{aligned}
& \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=F(+\infty)-F(a)=[F(x)]_a^{+\infty}, \\
& \int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(-\infty)=[F(x)]_{-\infty}^b \\
& \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=F(+\infty)-F(-\infty)
\end{aligned}
$$

例 1 分别计算 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x ， \int_{-\infty}^0 \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x$ 和 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x$.

$$
\begin{aligned}
& \text { 解 } \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\left.\arctan x\right|_0 ^{+\infty}=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2} ; \\
& \int_{-\infty}^0 \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\left.\arctan x\right|_{-\infty} ^0=0-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2} ; \\
& \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\left.\arctan x\right|_{-\infty} ^{+\infty}=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi .
\end{aligned}
$$

例 2 讨论反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^p}$ 的敛散性.
解 当 $p=1$ 时， $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x}=\left.\ln x\right|_1 ^{+\infty}=+\infty$, 故反常积分发散； 当 $p \neq 1$ 时， $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^p}=\left.\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_1 ^{+\infty}=\left\{\begin{array}{cc}+\infty, & p<1, \\ \frac{1}{p-1}, & p>1 \text {. }\end{array}\right.$
因此反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^p}$ 当 $p \leq 1$ 时发散，当 $p>1$ 时收敛.
这是一个非常重要的反常积分，应记住它的结果.
例 3 讨论反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \cos x \mathrm{~d} x$ 的敛散性.
解 $\int_{-\infty}^{+\infty} \cos x \mathrm{~d} x=\int_{-\infty}^0 \cos x \mathrm{~d} x+\int_0^{+\infty} \cos x \mathrm{~d} x$.
由于 $\int_{-\infty}^0 \cos x \mathrm{~d} x=[\sin x]_{-\infty}^0$, 因为极限 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \sin x$ 不存在，故反常积分 $\int_{-\infty}^0 \cos x \mathrm{~d} x$ 发散，从而反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \cos x \mathrm{~d} x$ 也发散.
例 4 计算反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\ln (x+1)}{(x+1)^2} \mathrm{~d} x$.
解 用分部积分法，有

$$
\begin{aligned}
\int_0^{+\infty} \frac{\ln (x+1)}{(x+1)^2} \mathrm{~d} x & =-\int_0^{+\infty} \ln (x+1) \mathrm{d} \frac{1}{x+1} \\
& =\left.\left[-\frac{\ln (x+1)}{x+1}\right]\right|_0 ^{+\infty}+\int_0^{+\infty} \frac{1}{x+1} \cdot \frac{1}{x+1} \mathrm{~d} x \\
& =\left[-\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x+1)}{x+1}-0\right]+\int_0^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^2} \mathrm{~d} x \\
& =0-\left.\left[\frac{1}{x+1}\right]\right|_0 ^{+\infty}=-\left[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x+1}-1\right]=1 .
\end{aligned}

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