日期: 2023-10-01 11:28 查看: 162 次编辑导出

向量的运算

1、向量的投影及投影定理
将向量 $a 、 b$ 的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向 转过角度 $\theta$ 后可与另一个向量正向重合 (见图 5-8)，则称 $\theta$ 为向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 的夹角，记 作 $\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle$ ， 即

$$
\theta=\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}\rangle(0 \leq \theta \leq \pi),
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212308040ccf.png)
已知两向量 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b}$ ，如果它们的夹角 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$ ，称这两个向量平行，记 为 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ，其中两个向量指向一致时 $\theta=0$ ；指向相反时 $\theta=\pi ＼mathrm{~ ， 指 向 相 同 的 两 个 ~}$ 平行向量 $a 、 b$ 如果还满足 $|a|=|b|$ ，那么这两个向量相等，记为 $a=b$. 已与向量 $a$ 的模相同，但方向相反的向量叫做 $a$ 的负向量，记作 $-a$.
对于一向量与一轴的夹角，可将其中一轴看作是向量，按两向量之间的夹角 来度量，对于两个轴之间的夹角则看作是两向量的夹角.

通过空间一点 $A$ 作 $u$ 轴的垂直平面 (见图 5-9)，该平面与 $u$ 轴的交点 $A^{\prime}$ 称 为点 $A$ 在 $u$ 轴上投影.

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如果向量 $\overrightarrow{A B}$ 的始点 $A$ 与终点 $B$ 在 $u$ 轴上的投影分别为 $A^{\prime} 、 B^{\prime}$ (见图 5-10)， 则 $u$ 轴上的有向线段 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 的值 $A^{\prime} B^{\prime}$ 称为向量 $\overrightarrow{A B}$ 在 $u$ 轴上的投影，记作 $\operatorname{Pr} \mathrm{j}_u \overrightarrow{A B}=A^{\prime} B^{\prime}, u$ 轴称为投影轴.
注 值 $A^{\prime} B^{\prime}$ 是指其绝对值等于 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 的 长度，即 $\left|\overline{A^{\prime} B^{\prime}}\right|$ ，符号由 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 的方向决定： 当 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 与 $u$ 轴同向时，取正号；当 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 与 $u$ 轴反向时，取负号.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230de69a2f.png)

定理 1 向量 $\overline{A B}$ 在 $u$ 轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量 $\overline{A B}$ 的夹角 $\theta$ 的余弦，即

$$
\operatorname{Pr}_u \mathrm{j}_u \overrightarrow{A B}=|\overrightarrow{A B}| \cos \theta .
$$

证 将向量 $\overrightarrow{A B}$ 的始点置于 $u^{\prime}$ 轴（见图 5-11)，则由直角三角形关 系得

$$
\operatorname{Pr}_{u_{u^{\prime}}} \overrightarrow{A B}=\operatorname{Pr}_{u^{\prime}} \overrightarrow{A B}^{\prime}=|\overrightarrow{A B}| \cos \theta .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230f0b8669.png)
当一非零向量与其投影轴成锐角时，向量的投影为正；成钝角时，向量的投 影为负; 成直角时，向量的投影为零 (见图 5-12).

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定理 2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和.
证 设点 $A 、 B$ 和 $C$ 在轴上的投影
分别是 $A^{\prime} 、 B^{\prime}$ 和 $C^{\prime}$ ，则 $\operatorname{Pr}_u \overrightarrow{A B}=A^{\prime} B^{\prime}$ ，
$\operatorname{Pr}_u \mathrm{j}_u \overrightarrow{B C}=B^{\prime} C^{\prime} ， \operatorname{Pr}_{\mathrm{j}} \mathrm{j}_u \overrightarrow{A C}=A^{\prime} C^{\prime}$ ，由于无
论 $A^{\prime} 、 B^{\prime}$ 和 $C^{\prime}$ 在轴上的位置如何，总有 $A^{\prime} B^{\prime}+B^{\prime} C^{\prime}=A^{\prime} C^{\prime}$,
故 $\operatorname{Pr}_u \mathrm{j}_u \overrightarrow{A B}+\operatorname{Pr}_u \overrightarrow{B C}=\operatorname{Pr}_u \mathrm{j}_u \overrightarrow{A C}$ ，见图 5-13.
本性质可推广到有限个向量的情形:
$\operatorname{Pr} \mathrm{j}_u a_1+\operatorname{Pr} \mathrm{j}_u a_2+\cdots+\operatorname{Pr} \mathrm{j}_u a_n=\operatorname{Pr} \mathrm{j}_u\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)$.
定理 3: $\operatorname{Pr}_u(\lambda a)=\lambda \operatorname{Pr}_u a$. 证 证明留作习题.
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