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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
日期:
2023-10-01 11:28
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向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
以共起点向量 $a 、 b$ 为平行四边形相邻两边，以 $a$ 向量的起点作为起点的其 对角线表示的向量为两个向量的和，记为 $a+b$ ，见图 5-14. 以 $a$ 向量的终点为 起点， $b$ 向量的终点为终点的对角线向量为向量的差. 见图 5-15，记为 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})$.  设 $\lambda$ 是一个数，向量 $a$ 与数 $\lambda$ 的乘积 $\lambda \boldsymbol{a}$ 规定为 当 $\lambda>0$ 时， $\lambda a$ 表示一向量，其大小 $|\lambda a|=\lambda|a|$ ，方向与 $a$ 同向； 当 $\lambda=0$ 时， $\lambda \boldsymbol{a}=0$ 是零向量； 当 $\lambda<0$ 时， $\lambda a$ 表示一向量，其大小 $|\lambda a|=-\lambda|a|$ ，方向与 $a$ 反向（见图 5-16）. 特别地，当 $\lambda=-1$ 时， $(-1) \boldsymbol{a}=-\boldsymbol{a}$.  由数乘的定义很容易得到以下结论 (见图 5-17)： （1）如果两个向量 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b}$ 满足 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$ ( $\lambda$ 是数)，则 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ； 反之，若 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}$ ，则 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$. (2) 若记 $\mathrm{e}_a$ 为非零向量 $\boldsymbol{a}$ 的同向单位向量，则 $\mathrm{e}_a=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ (证明留作习题).  例 3 设 $P_1 、 P_2$ 为 $u$ 轴上坐标为 $u_1, u_2$ 的任意两点，又 $\boldsymbol{e}$ 为与 $u$ 轴正向一致 的单位向量 (见图 5-18)，则有 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(u_2-u_1\right) e$. 证 当 $u_2-u_1>0$ 时， $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 同向，故 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\lambda \boldsymbol{e}(\lambda>0)$ ，由 $\lambda=\left|\overrightarrow{P_1 P_2}\right|=u_2-u_1$ ， 因此 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(u_2-u_1\right) e$ ； 当 $u_2-u_1=0$ 时， $\overrightarrow{P_1 P_2}=\mathbf{0} ，\left(u_2-u_1\right) \boldsymbol{e}=\mathbf{0}$ ，因此 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(u_2-u_1\right) \boldsymbol{e}$ ； 当 $u_2-u_1<0$ 时， $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 反向，故 $\overrightarrow{P_1 P_2}=-\lambda \boldsymbol{e}(\lambda>0)$ ，由 $\lambda=\left|\overrightarrow{P_1 P_2}\right|=u_1-u_2$ ， 因此 $\overrightarrow{P_1 P_2}=-\lambda \boldsymbol{e}=-\left(u_1-u_2\right) \boldsymbol{e}=\left(u_2-u_1\right) \boldsymbol{e}^{.}$  设空间有一向量 $\boldsymbol{a}=\vec{M}_1 M_2$ ， 其中 $M\left(x_1, y_1, z_1\right) 、 M\left(x_2, y_2, z_2\right)$ ， 由加法定理可知 $a$ 可分解为三个 分别平行于 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴的 向量 $a_x 、 a_y$ 和 $a_z$ ，它们称为 $a$ 在 $X$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴的三个分向量. 显 然 $a=a_x+a_y+a_z$. 见图 5-19.  $$ \begin{aligned} & \operatorname{Pr} \mathrm{j}_x \boldsymbol{a}=\operatorname{Pr} \mathrm{j}_x \boldsymbol{a}_x=x_2-x_1=a_x, \\ & \operatorname{Pr} \mathrm{j}_y \boldsymbol{a}=\operatorname{Pr} \mathrm{j}_y \boldsymbol{a}_y=y_2-y_1=a_y, \\ & \operatorname{Pr} \mathrm{j}_z \boldsymbol{a}=\operatorname{Pr} \mathrm{j}_z \boldsymbol{a}_z=z_2-z_1=a_z, \end{aligned} $$ 若用 $i 、 j$ 和 $k$ 分别表示与 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴正向一致的三个单位向量称它 们为基本单位向量，则有 $\boldsymbol{a}_x=\left(x_2-x_1\right) \boldsymbol{i} ， \boldsymbol{a}_y=\left(y_2-y_1\right) \boldsymbol{j} ， \boldsymbol{a}_z=\left(z_2-z_1\right) \boldsymbol{k}$ ，因此 $$ \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}_x+\boldsymbol{a}_y+\boldsymbol{a}_z=\left(x_2-x_1\right) \boldsymbol{i}+\left(y_2-y_1\right) \boldsymbol{j}+\left(z_2-z_1\right) \boldsymbol{k}=a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k} ， $$ 称上式为向量 $a$ 按基本单位向量的分解式或 $a$ 的向量表示式. 一方面，从向量 $\boldsymbol{a}$ 可以唯一定出它在三条坐标轴上的投影 $a_x ， a_y$ 和 $a_z$ ， 另一方面从 $a_x ， a_y$ 和 $a_z$ 可以唯一定出向量 $\boldsymbol{a}$ ，这样有序数组 $a_x ， a_y ， a_z$ 就 与向量 $\boldsymbol{a}$ 一一对应，于是将 $a_x ， a_y ， a_z$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标，记为 $\boldsymbol{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right)$ 也称向量 $a$ 的坐标表示式. 以 $M\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 为始点， $M\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 为终点的向量记为 $$ \frac{M_1 M_2}{M_2}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right) \text {, } $$ 特别向径 $r=\overrightarrow{O M}=(x, y, z$ ) (见图 5-20).  对于向量的运算也可化为对坐标的数量运算: 设向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right) ， \boldsymbol{b}=\left(b_x, b_y, b_z\right)$ ， $$ \begin{aligned} \boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b} & =\left(a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k}\right) \pm\left(b_x \boldsymbol{i}+b_y \boldsymbol{j}+b_z \boldsymbol{k}\right)=\left(a_x \pm b_x\right) \boldsymbol{i}+\left(a_y \pm b_y\right) \boldsymbol{j}+\left(a_z \pm b_z\right) \boldsymbol{k} \\ & =\left(a_x \pm b_x, a_y \pm b_y, a_z \pm b_z\right) ; \\ \lambda \boldsymbol{a} & =\lambda\left(a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k}\right)=\left(\lambda a_x\right) \boldsymbol{i}+\left(\lambda a_y\right) \boldsymbol{j}+\left(\lambda a_z\right) \boldsymbol{k}=\left(\lambda a_x, \lambda a_y, \lambda a_z\right) . \end{aligned} $$ 例 4 设 $A\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 和 $B\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 为空间两点，而在 $A B$ 直线上的点 $M$ 分有 向线段 $\overrightarrow{A B}$ 为两个有向线段 $\overrightarrow{A M}$ 与 $\overrightarrow{M B}$ ，使它们的模的比等于某数 $\lambda(\lambda \neq-1)$ ，即 $\frac{|\overrightarrow{A M}|}{|\overrightarrow{M B}|}=\lambda$ ，求分点 $M$ 的坐标 $x ， y$ 和 $z$. 解 如图 5-21 所示， 因为 $\overrightarrow{A M} 、 \overrightarrow{M B}$ 在一直线上，故 $\overrightarrow{A M}=\lambda \overrightarrow{M B}$. $$ \begin{aligned} & \text { 而 } \overrightarrow{A M}=\left(x-x_1, y-y_1, z-z_1\right) ， \\ & \overrightarrow{M B}=\left(x_2-x, y_2-y, z_2-z\right) \end{aligned} $$  因此 $$ \left(x-x_1, y-y_1, z-z_1\right)=\lambda\left(x_2-x, y_2-y, z_2-z\right) ， $$ 即 $x-x_1=\lambda\left(x_2-x\right) ， y-y_1=\lambda\left(y_2-y\right) ， z-z_1=\lambda\left(z_2-z\right)$ ， 可得 $$ x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, \quad y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}, \quad z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda} \text {. } $$ 点 $M$ 叫做有向线段 $\overrightarrow{A B}$ 的定比分点，当 $\lambda=1$ 时，点 $M$ 是有向线段 $\overrightarrow{A B}$ 的中 点，其坐标为 $$ x=\frac{x_1+x_2}{2}, y=\frac{y_1+y_2}{2}, \quad z=\frac{z_1+z_2}{2} \text {. } $$ 例 5 设 $\boldsymbol{m}=3 \boldsymbol{i}+5 \boldsymbol{j}+8 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{n}=2 \boldsymbol{i}-4 \boldsymbol{j}-7 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{p}=5 \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-4 \boldsymbol{k}$, 求 $\boldsymbol{a}=4 \boldsymbol{m}+3 \boldsymbol{n}-\boldsymbol{p}$ 在 $y$ 轴上的分向量. 解 $\boldsymbol{a}=4 \boldsymbol{m}+3 \boldsymbol{n}-\boldsymbol{p}=4(3 \boldsymbol{i}+5 \boldsymbol{j}+8 \boldsymbol{k})+3(2 \boldsymbol{i}-4 \boldsymbol{j}-7 \boldsymbol{k})-(5 \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-4 \boldsymbol{k})$ $=13 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}+15 \boldsymbol{k}$, 所以 $x$ 轴上的坐标为 13 ，在 $y$ 轴上的分向量为 $7 \boldsymbol{j}$.
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