日期: 2023-10-01 11:28 查看: 208 次编辑导出

平面的一般方程

由平面的点法式方程 (1) 知任一平面的方程都是三元一次方程，反之，可 以证明任何一个三元一次方程

$$
A x+B y+C z+D=0
$$

一定表示平面.
任取一组 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 满足

$$
A x_0+B y_0+C z_0+D=0 ，
$$

(2) - (3) 得: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$ 即为平面的点法式方 程 (1) .
由于 (2) 与 (1) 是同解方程，故表明三元一次方程的图形一定是平面. 方程 $A x+B y+C z+D=0$ 称为平面的一般方程. 其中 $n=(A, B, C)$ 即为该平 面的一个法向量.

对于一些特殊的三元一次方程所表示的平面，应该熟悉它们图形的特点：
（1）当 $D=0$ 时， (2) 式成为 $A x+B y+C z=0$ ，显然，原点 $O(0,0,0)$ 的 坐标满足此方程，因此，方程 $A x+B y+C z=0$ 表示过原点的平面；
(2) 当 $A=0$ 时， $B y+C z+D=0$ 所表示的平面的法向量为 $\boldsymbol{n}(0, B, C)$ ； 法向量 $n$ 在 $x$ 轴上的投影为零，故与 $x$ 轴垂直，所以该平面与 $x$ 轴平行； 同理，当 $B=0$ 时，平面 $A x+C z+D=0$ 平行于 $y$ 轴; 当 $C=0$ 时，平面 $A x+B y+D=0 B y+C z+D=0$ 平行于 $z$ 轴;
(3) 当 $A=B=0$ 时，平面 $C z+D=0$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}(0,0, C)$ ，法向量 $\boldsymbol{n}$ 在 $x$ 轴 和 $y$ 轴上的投影都为零，故与 $x$ 轴和 $y$ 轴都垂直，即与 $x O y$ 面垂直，所以该平面 平行于 $x O y$ 面同样，当 $B=C=0$ 或 $B=C=0$ 时，(2) 式成为 $A z+D=0$ 和 $B z+D=0$ ，它们分别表示与 $y O z$ 面或与 $z O x$ 面平行的平面.
特别地，方程 $z=0, x=0, y=0$ 分别表示了三个坐标面: $x O y$ 面， $y O z$ 面和 $z O x$ 面.
例 3 求通过 $x$ 轴和点 $(2,4,1)$ 的平面方程.
解法一 设所求平面的一般方程为 $A x+B y+C z+D=0$, 因为所求平面通过 $x$ 轴，且法向量垂直于 $x$ 轴，于是法向量在 $x$ 轴上的投影为零，即 $A=0$,
由于平面通过原点，所以 $D=0$, 从而方程成为

$$
B y+C z=0 \text {, }
$$

又因平面过点 $(2,4,1)$ 因此有 $4 B+C=0$, 即 $C=-4 B$. 以此代入(4)，再除 以 $B(B \neq 0)$, 便得到所求方程为 $y-4 z=0$.
解法二 因为所求平面通过 $x$ 轴，故原点 $O(0,0,0)$ 在平面上，向量

$$
\overrightarrow{O M}=(2-0,4-0,1-0)=(2,4,1)
$$

在平面上，又 $x$ 轴的单位向量 $i=(0,0,1)$ 与平面平行，于是向量积 $\overrightarrow{O M} \times i$ 与 平面垂直，即它是平面的一个法向量. 而

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O M} \times \boldsymbol{i} & =\left|\begin{array}{lll}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
2 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
4 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right| \boldsymbol{i}-\left|\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right| \boldsymbol{j}+\left|\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
1 & 0
\end{array}\right| \boldsymbol{k} \\
& =\boldsymbol{j}-4 \boldsymbol{k},
\end{aligned}
$$

根据点法式方程，得到所求方程为 $y-4 z=0$.

**平面的截距式方程**
例 4 设一平面与 $x 、 y 、 z$ 轴分别交于点 $P(a, 0,0) 、 Q(0, b, 0) 、 R(0,0, c)$ $(a b c \neq 0)$ ，求这个平面的方程 (见图 5-35).
解 设平面的一般方程为

$$
A x+B y+C z+D=0
$$

分别将上述三点的坐标代入方程，得

$$
A a+D=0 ， B b+D=0 ， C c+D=0 ，
$$

即

$$
A=-\frac{D}{a}, \quad B=-\frac{D}{b}, \quad C=-\frac{D}{c},

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230c99a235.png)
解 代入 (5) 得

$$
-\frac{D}{a} x-\frac{D}{b} y-\frac{D}{c}+D=0 \text { ， }
$$

即

$$
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \quad(\text { 这里 } D \neq 0) \text {. }
$$

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ 称为平面的截距式方程. a、b,c 和 叫做该平面的截距.

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