最后更新: 2025-04-14 09:28 查看: 755 次反馈刷题

点线面体与欧氏几何

几何学是研究“空间”的形体和性质的科学．“空间”就是我们和万物以至星象天体共存的所在．在日常生活中，我们举目四望所见到的地方，都是空间的一部分．同学们在小学数学课中学过的柱体、锥体、球体等等，它们都各自占有空间的一部分，并且构成不同的形体．各种形体的种种性质，如各部分的长度、角度、面积，以及体积等等．都是在我们的生活和生产实践中所不可缺少的知识．

自古以来，人们经过实践、观察、分析，已总结出一系列的有关空间方面的知识，例如，从中国、埃及、巴比伦、玛雅等古文明中，可以看出对空间的知识都已掌握得相当丰富了．对于空间知识有系统的研究，从西方的古文明中可知，起始于古埃及和巴比仑，而在古希腊得到蓬勃的发展，获得较辉煌的成就．大体说来，古希腊在空间知识方面的成就，由欧几里得集其大成于他所著的《几何原本》所著。

## 几何原本
欧几里得所著的《几何原本》被认为是线代几何的始祖，他说建立在下面
五条公理的基础上的。
1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。
2.线段(有限直线)可以任意地延长。
3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。
4.凡是直角都相等(角公理)。
5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角， 则两直线则会在该侧相交。

以欧几里得的理论建立的几何称为欧氏几何，在初中，高中阶段都以该几何为主，因此被广泛的成为**欧氏几何**。

## 延伸阅读：《几何原本》第五公设与菲欧几何

上面前四条都比较明显，唯独第五条后世数学家对此有异议。第五条的另外一个说法是：过直线外一点，可作且只可作一直线跟此直线平行。

长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第29个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前28个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？并由此产生了**罗氏几何**，**黎曼几何**等。
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