最后更新: 2024-12-27 22:46 查看: 418 次反馈刷题

多元函数的极值

## 多元函数的极值
在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题.
与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有密 切的联系.
下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.
**定义** 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某一邻域内有定义，对于该邻域内 异于 $\left(x_0, y_0\right)$ 的任意一点 $(x, y)$ ，如果

$$
f(x, y)<f\left(x_0, y_0\right),
$$

则称函数在 $\left(x_0, y_0\right)$ 有极大值 $f\left(x_0, y_0\right)$ ；如果

$$
f(x, y)>f\left(x_0, y_0\right),
$$

则称函数在 $\left(x_0, y_0\right)$ 有极小值 $f\left(x_0, y_0\right)$ ； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取 得极值的点称为极值点.

`例`函数 $z=2 x^2+3 y^2$ 在点 $(0,0)$ 处有极小值. 从几何上看， $z=2 x^2+3 y^2$ 表示一开口向上的椭圆抛物面，点 $(0,0,0)$ 是它的顶点 (图 6-14) .

![图片](/uploads/2024-12/d2d248.jpg){width=300px}

`例` 函数 $z=-\sqrt{x^2+y^2}$ 在点 $(0,0)$ 处有极大值. 从几何上看， $z=-\sqrt{x^2+y^2}$ 表示一开口向下的半圆锥面，点 $(0,0,0)$ 是它的顶点 (图 6-15).
 ![图片](/uploads/2024-12/d4675e.jpg){width=300px}

`例` 函数 $z=x+y$ 在点 $(0,0)$ 处无极值. 从几何上看，它表示过原点的 平面（图 6-16）.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212318b1352a.png){width=300px}

上面介绍的这三个例子，基本上初中生都会，别急，这些都是为了后面引入二元函数极值和[拉格朗日极值条件](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=399)

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