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高等数学
第六章 多元函数微分学
多元函数的极值
日期:
2023-10-01 11:28
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多元函数的极值
在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有密 切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题. 定义 2 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某一邻域内有定义，对于该邻域内 异于 $\left(x_0, y_0\right)$ 的任意一点 $(x, y)$ ，如果 $$ f(x, y)<f\left(x_0, y_0\right), $$ 则称函数在 $\left(x_0, y_0\right)$ 有极大值 $f\left(x_0, y_0\right)$ ；如果 $$ f(x, y)>f\left(x_0, y_0\right), $$ 则称函数在 $\left(x_0, y_0\right)$ 有极小值 $f\left(x_0, y_0\right)$ ； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取 得极值的点称为极值点. 例 12 函数 $z=2 x^2+3 y^2$ 在点 $(0,0)$ 处有极小值. 从几何上看， $z=2 x^2+3 y^2$ 表示一开口向上的椭圆抛物面，点 $(0,0,0)$ 是它的顶点 (图 6-14) . 例 13 函数 $z=-\sqrt{x^2+y^2}$ 在点 $(0,0)$ 处有极大值. 从几何上看， $z=-\sqrt{x^2+y^2}$ 表示一开口向下的半圆锥面，点 $(0,0,0)$ 是它的顶点 (图 6-15).  例 14 函数 $z=x+y$ 在点 $(0,0)$ 处无极值. 从几何上看，它表示过原点的 平面（图 6-16）. 
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