最后更新: 2025-04-08 17:29 查看: 425 次反馈刷题

二元函数极值的概念

## 二元函数极值的概念
二元函数的极值问题，一般可以用偏导数来解决.下面给出二元函数有极值的必要条件.
**定理1** (必要条件) 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 具有偏导数，且在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即

$$
f_x\left(x_0, y_0\right)=0, \quad f_y\left(x_0, y_0\right)=0 .
$$

证 不妨设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 取得极大值. 由极值定义，对于点 $P_0$ 的 某个邻域内异于 $P_0$ 的任意一点 $P(x, y)$ ，都有

$$
f(x, y)<f\left(x_0, y_0\right) .
$$

特别地，取 $y=y_0$ ，而 $x \neq x_0$ ，也有 $f\left(x, y_0\right)<f\left(x_0, y_0\right)$.
这表明一元函数 $f\left(x, y_0\right)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值，由一元函数取得极值的必要 条件可知

$$
f_x\left(x_0, y_0\right)=0 .
$$

类似地，我们可以得到

$$
f_y\left(x_0, y_0\right)=0 .
$$

与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点 称为函数的驻点.
从定理 1 可知，具有偏导数的函数的极值点必为函数的驻点. 但函数的驻点 不一定是极值点，例如函数 $z=x y$ ，在点 $(0,0)$ 处的两个偏导数为

$$
f_x(0,0)=\left.y\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}=0, f_y(0,0)=\left.x\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}=0,
$$

所以点 $(0,0)$ 是函数 $z=x y$ 的驻点，而按定义直接可以判断出点 $(0,0)$ 不是极值点.
怎样判定驻点是否为极值点呢? 下面的定理给出了答案.

**定理2** (充分条件) 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域内有直到二阶的 连续偏导数，又 $f_x\left(x_0, y_0\right)=0, f_y\left(x_0, y_0\right)=0$. 令

$$
f_{\mathrm{xx}}\left(x_0, y_0\right)=A, \quad f_{x y}\left(x_0, y_0\right)=B, \quad f_{y y}\left(x_0, y_0\right)=C .
$$

(1) 当 $A C-B^2>0$ 时，函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有极值，且当 $A>0$ 时有极小值 $f\left(x_0, y_0\right) ； A<0$ 时有极大值 $f\left(x_0, y_0\right)$ ；
(2) 当 $A C-B^2<0$ 时，函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处没有极值；
(3) 当 $A C-B^2=0$ 时，函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可能有极值，也可能没有极值. 定理证明从略
根据定理 1 与定理 2 , 如果函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，则求 $z=f(x, y)$ 的极值的一般步骤为:
第一步 解方程组 $f_x(x, y)=0, f_y(x, y)=0$, 求出 $f(x, y)$ 的所有驻点；
第二步 求出函数 $f(x, y)$ 的二阶偏导数，依次确定各驻点处 $A 、 B 、 C$ 的 值，并根据 $A C-B^2$ 的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数 $f(x, y)$ 在极值 点处的极值.

## 一元函数和二元函数求极值的比较
 ![图片](/uploads/2025-04/f54e18.jpg)
 
 表中

$$
\begin{aligned}
A & =f_{x x}\left(x_0, y_0\right), \quad B=f_{x y}\left(x_0, y_0\right), \quad C=f_{y y}\left(x_0, y_0\right), \\
H _f\left(x_0, y_0\right) & =\left(\begin{array}{ll}
f_{x x}\left(x_0, y_0\right) & f_{x y}\left(x_0, y_0\right) \\
f_{x y}\left(x_0, y_0\right) & f_{y y}\left(x_0, y_0\right)
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

是函数 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的 **Hesse（黑塞）矩阵**
只要将梯度看作是一元函数一阶导数的推广，而 Hesse 矩阵看作是一元函数二阶导数的推广，那么表中所列的二元函数取得无约束极值的必要条件与充分条件就是一元函数的极值中相应结论的直接推广．

### 二元和一元极值点的的不同点
极值问题推广到多元函数后，会出现一些与一元函数不同的新情况。这是因为一元函数在几何上表示一条平面曲线，而多元函数，例如二元函数，在几何上表示一块空间的曲面，曲面的几何形态要比平面曲线复杂得多。
$1^{\circ}$ 对一元函数 $f$ ，若在 $[a, b]$ 上可导，且有有限个驻点，则它的两个极大（小）值之间必存在着极小（大）值点，但此结论对多元函数不一定成立。

例如，考察函数 $f(x, y)=-x^4-y^4+4 x y-1$ 。解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_x(x, y)=-4 x^3+4 y=0 \\
f_y(x, y)=-4 y^3+4 x=0
\end{array}\right.
$$

易得函数 $f$ 的三个驻点为 $(0,0),(1,1),(-1,-1)$ ．又 $f_{x x}(x, y)=-12 x^2, f_{y y}(x, y)=$ $-12 y^2$ ，不难验证，$f$ 在 $(-1,-1)$ 与 $(1,1)$ 处都取极大值 1 ，但在它们的＂中间点＂ $(0,0)$ 处不取极值（因为 $\left.A C-B^2<0\right)$ ．

原因：曲面 $z=-x^4-y^4+4 x y-1$ 在 $(1,1)$ 与 $(-1,-1)$ 处有两个高度为 1 的 ＂峰＂，但是，不难验证在 $(0,0)$ 邻域内曲面为马鞍形，点 $(0,0)$ 不是曲面的＂谷＂。

$2^{\circ}$ 设一元函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且在 $(a, b)$ 内仅有唯一的极值点 $x_0$ ．若 $x_0$ 是 $f$ 的极小（大）值点，则 $x_0$ 必是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的最小（大）值点，但对多元函数此结论不一定成立。例如，设二元函数 $f$ 在有界闭域 $D$ 上连续，在 $D$ 内可导，且在 $D$ 内有唯一驻点 $\left(x_0, y_0\right)$ ，若 $\left(x_0, y_0\right)$ 是它的极小（大）值点，不能断定 $\left(x_0, y_0\right)$ 就是 $f$ 在 $D$ 上的最小（大）值点．

反例如下图中的曲面：在马鞍面形的山梁上挖一个表面为旋转抛物面的 ＂坑＂，坑底在 $x O y$ 平面上的投影 $\left(x_0, y_0\right)$ 是表示该曲面的函数在区域

$$
D=\{(x, y) \mid-5 \leqslant x \leqslant 5,-4 \leqslant y \leqslant 4\}
$$

内的唯一极小值点．但它不是最小值点，最小值点在区域 $D$ 的边界上．
 ![图片](/uploads/2025-04/8785f6.jpg)
 
 
 ### 多元函数无约束极值的两个具体问题
$1^{\circ}$ 二元函数 $z=f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取极值与相应的一元函数 $f\left(x, y_0\right)$ ， $f\left(x_0, y\right)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 取极值的关系

我们知道，二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取得极值，则相应的一元函数 $\varphi(x)=f\left(x, y_0\right)$ 与 $\psi(y)=f\left(x_0, y\right)$ 在该点必取得极值．试问，反过来结论是否成立？

不一定．考察函数 $f(x, y)=x^2-3 x y+2 y^2$ ．易见，$\varphi(x)=f(x, 0)=x^2$ 在 $x=$ 0 取极小值，$\varphi(y)=f(0, y)=2 y^2$ 在 $y=0$ 也取极小值，但 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不取极小值．事实上，任取 $\delta>0$ ，令 $|t|=\delta$ ，若 $\delta$ 充分小，则 $\left(\frac{3}{4} t, \frac{1}{2} t\right) \in U((0,0), \delta)$ ，且

$$
f\left(\frac{3}{4} t, \frac{1}{2} t\right)=\frac{9}{16} t^2-\frac{9}{8} t^2+\frac{1}{2} t^2=-\frac{1}{16} t^2<0=f(0,0)
$$

故 $f(0,0)=0$ 不是 $f(x, y)$ 在 $U((0,0), \delta)$ 内的极小值．
逆命题不成立的原因是一元函数 $\varphi(x)=f\left(x, y_0\right)$ 在 $x_0$（或 $\psi(y)=f\left(x_0, y\right)$在 $\left.y_0\right)$ 处取极小（大）值只能说明二元函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 的邻域 $U\left(\left(x_0, y_0\right), \delta\right)$内沿直线 $y=y_0\left(x=x_0\right)$ 变动时在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取极小（大）值。但根据二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取梑小（大）值的定义，要求存在 $\left(x_0, y_0\right)$ 一个邻域，使 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的值比该邻域任一点的值都小（大）。
$2^{\circ}$ 二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取极值与它在沿过 $\left(x_0, y_0\right)$ 任一直线上取极值的关系

我们知道，若二元函数 $z=f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点处取极小（大）值，则当动点 $(x, y)$ 在过 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的任一直线 $L$ 上变动时，函数 $z=f(x, y)$ 必在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取极小（大）值。试问，反过来结论是否成立？

不能断定．例如，函数 $f(x, y)=2 x^2-3 x y^2+y^4$ 在平面上有唯一驻点 $(0,0)$ ，且 $f(0,0)=0$ ．由于

$$
f(x, y)=\left(2 x-y^2\right)\left(x-y^2\right)
$$

所以在区域 $(\Omega)=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} y^2<x<y^2\right.\right\}$ 内，$f(x, y)<0$ ；在 $(\Omega)$ 外，$f(x, y)>0$ （如图 6．8．2．所示）．故在 $(0,0)$ 点的任一去心邻域 $U((0,0), \delta)$ 内总有使 $f(x, y)<$ 0 的点，$(0,0)$ 不是 $f$ 的极小点．

![图片](/uploads/2025-04/373427.jpg)

另一方面，任取过原点 $(0,0)$ 的直线 $x=\lambda t, y=\mu t$ ，代入 $f(x, y)$ ，记

$$
\begin{aligned}
\varphi(t) & =f(\lambda t, \mu t)=\left(2 \lambda t-\mu^2 t^2\right)\left(\lambda t-\mu^2 t^2\right) \\
& =2 \lambda^2 t^2-3 \lambda \mu^2 t^3+\mu^4 t^4
\end{aligned}
$$

则 $\varphi^{\prime}(t)=4 \lambda^2 t-9 \lambda \mu^2 t^2+4 \mu^4 t^3, \varphi^{\prime \prime}(t)=4 \lambda^2-18 \lambda \mu^2 t+12 \mu^4 t^2$ ．
易见，$\varphi^{\prime}(0)=0, \varphi^{\prime \prime}(0)=4 \lambda^2$ 。故对所有 $\lambda \neq 0$ 及任何 $\mu$ ，当 $t=0$ 时，$\varphi(t)$ 取极小值；对 $\lambda=0, \mu \neq 0, \varphi(t)=\mu^4 t^4$ 也在 $t=0$ 时取极小值．所以当 $(x, y)$ 在通过原点 $(0,0)$ 的任一直线上变动时，$f(x, y)$ 都在 $(0,0)$ 取极小值．

这个事实从图 6．8．2 上也不难看出（因为过原点 $(0,0)$ 的任一直线 $L$ 上的点在未到达原点之前，都要穿人使 $f(x, y)$ 取正值的区域）．逆命题不成立的原因与 $1^{\circ}$ 中类似．

## 例题
`例`求函数 $f(x, y)=(x-1)^2+(y-4)^2$ 的极值.
解 先解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_x(x, y)=2(x-1)=0, \\
f_y(x, y)=2(y-4)=0,
\end{array}\right.
$$

解得驻点为 $(1,4)$, 因为在点 $(1,4)$ 处，

$$
A=f_{x x}(1,4)=2 ， \quad B=f_{x y}(1,4)=0 ， C=f_{y y}(1,4)=2=-6 y+6 .
$$

在点 $(1,4)$ 处， $A C-B^2=4>0$ ， 又 $A>0$ ，
故函数在该点处有极小值 $f(1,4)=0$.

`例`求函数 $f(x, y)=3 x y-x^3-y^3$ 的极值.
解 先解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_x(x, y)=3 y-3 x^2=0, \\
f_y(x, y)=3 x-3 y^2=0,
\end{array}\right.
$$

解得驻点为 $(0,0),(1,1)$.
再求出二阶偏导数 $f_{\mathrm{xx}}(x, y)=-6 x ， f_{x y}(x, y)=3 ， f_{y y}(x, y)=-6 y$.
在点 $(0,0)$ 处， $A C-B^2=36 x y-\left.9\right|_{(0,0)}=-9<0$ ，所以，函数在该点处没有极值；
在点 $(1,1)$ 处， $A C-B^2=27>0$ ，故函数在该点处有极大值 $f(1,1)=1$.

`例`求函数 $f(x, y)=x^3-y^3+3 x^2+3 y^2-9 x$ 的极值.
解 先解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_x(x, y)=3 x^2+6 x-9=0, \\
f_y(x, y)=-3 y^2+6 y=0,
\end{array} .\right.
$$

解得驻点为 $(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2) $
 
再求出二阶偏导数 $f_{x x}(x, y)=6 x+6 ， f_{x y}(x, y)=0 ， f_{y y}(x, y)=-6 y+6$.
在点 $(1,0)$ 处， $A C-B^2=12 \cdot 6>0$ ， 又 $A>0$ ，故函数在该点处有极小值 $f(1,0)=-5$ ； 在点 $(1,2)$ 和 $(-3,0)$ 处， $A C-B^2=-12 \cdot 6<0$ ，故函数在这两点处没有极值；
在点 $(-3,2)$ 处， $A C-B^2=-12 \cdot(-6)>0$ ，又 $A<0$ ， 故函数在该点处有极大 值 $f(-3,2)=31$.

> 注意 讨论函数的极值问题时，如果函数在所讨论的区域内具有偏导数，那么 由定理 1 可知，极值只能在驻点处取得. 然而，如果函数在个别点处的偏导数不 存在，这些点当然不是驻点, 但可能是极值点.例如函数 $z=-\sqrt{x^2+y^2}$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数不存在, 但在该点处具有极大值. 因此. 在考虑函数的极值问 题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑.

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