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高等数学
第六章 多元函数微分学
条件极值与拉格朗日乘数法
日期:
2023-10-01 11:28
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条件极值与拉格朗日乘数法
前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量一般只要求落在定义域内,并无 ,其它限制条件,这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中,常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对 自变量有附加条件的极值称为条件极值. 下面介绍一种直接求条件极值的方法一一拉格朗日乘数法. 设二元函数 $f(x, y)$ 和 $\varphi(x, y)$ 在区域 $D$ 内有一阶连续偏导数,则求 $z=f(x, y)$ 在 $D$ 内满足条件 $\varphi(x, y)=0$ 的极值问题,可以转化为求拉格朗日函数 $$ L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y) $$ (其中 $\lambda$ 为某一常数) 的无条件极值问题. 设点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 是函数 $z=f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的极值点,即函数 $z=f(x, y)$ 在 $P_0$ 处有极值,且 $\varphi\left(x_0, y_0\right)=0$ ,我们现在讨论取得极值的必要条件. 设函数 $f(x, y)$ 和 $\varphi(x, y)$ 在点 $P_0$ 处具有连续的偏导数,且 $\varphi_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ,再设 $y=g(x)$ 是由方程 $\varphi(x, y)=0$ 所确定的隐函数,则有 $y_0=g\left(x_0\right)$. 将它代入方程 $z=f(x, y)$ 中,得 $$ z=f[x, g(x)] . $$ 由点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 是函数 $z=f(x, y)$ 的极值点可知,点 $x=x_0$ 是一元函数 $z=f[x, g(x)]$ 的极值点. 于是,根据一元函数极值的必要条件,有 $$ \left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}=f_x\left(x_0, y_0\right)+f_y\left(x_0, y_0\right) g^{\prime}\left(x_0\right)=0 . $$ 又由隐函数求导公式,知 $g^{\prime}\left(x_0\right)=-\frac{\varphi_x\left(x_0, y_0\right)}{\varphi_y\left(x_0, y_0\right)}$ , 所以,函数 $z=f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y)=0$ 下,在 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处有极值的必要条件为 $$ \left\{\begin{array}{l} f_x\left(x_0, y_0\right)-f_y\left(x_0, y_0\right) \frac{\varphi_x\left(x_0, y_0\right)}{\varphi_y\left(x_0, y_0\right)}=0, \\ \varphi\left(x_0, y_0\right)=0 . \end{array}\right. $$ 引入比例系数 $\lambda=-\frac{f_y\left(x_0, y_0\right)}{\varphi_y\left(x_0, y_0\right)}$ ( $\lambda$ 称为拉格朗日乘子),那么,上述必要条件又可 写成 $$ \left\{\begin{array}{l} f_x\left(x_0, y_0\right)+\lambda \varphi_x\left(x_0, y_0\right)=0 \\ f_y\left(x_0, y_0\right)+\lambda \varphi_y\left(x_0, y_0\right)=0 \\ \varphi\left(x_0, y_0\right)=0 . \end{array}\right. $$ 上式恰好是拉格朗日函数分别对 $x, y, \lambda$ 的偏导数. 于是,求函数 $z=f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y)=0$ 的极值的拉格朗日乘数法的基本 步骤为: (1)构造拉格朗日函数 $$ L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y) $$ 其中 $\lambda$ 为某一常数; (2) 由方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} L_x=f_x(x, y)+\lambda \varphi_x(x, y)=0, \\ L_y=f_y(x, y)+\lambda \varphi_y(x, y)=0, \end{array}\right. $$ 解出 $x, y ,(x, y)$ 就是所求条件极值的可能的极值点. 注 拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件,因此按照这种方法求 出来的点是否为极值点,还需要加以讨论. 不过在实际问题中,往往可以根据问 题本身的性质来判定所求的点是不是极值点. 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形. 例 20 求表面积为 $a^2$ 而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的三边长为 $x, y, z$, 则问题就是在条件 $$ \varphi(x, y, z)=2 x y+2 y z+2 x z-a^2=0 $$ 下,求函数 $V=x y z(x>0, y>0, z>0)$ 的最大值. 作拉格朗日函数 $$ L(x, y, z, \lambda)=x y z+\lambda\left(2 x y+2 y z+2 x z-a^2\right), $$ $$ \left\{\begin{array}{l} L_x=y z+2 \lambda(y+z)=0 \\ L_y=x z+2 \lambda(x+z)=0 \\ L_z=x y+2 \lambda(y+x)=0 \end{array}\right. $$ 解得 即 $$ \frac{x}{y}=\frac{x+z}{y+z}, \frac{y}{z}=\frac{x+y}{x+z}, $$ $$ x=y=z \text {. } $$ 代入 (1) 式,得唯一可能的极值点: $x=y=z=\frac{\sqrt{6} a}{6}$. 由问题本身意义知,此点就是所求最大值点. 即表面积为 $a^2$ 的长方体中,以 棱长为 $\frac{\sqrt{6} a}{6}$ 的正方体的体积为最大,最大体积 $V=\frac{\sqrt{6}}{36} a^3$.
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