最后更新: 2025-04-08 18:36 查看: 591 次反馈刷题

二重积分的定义

## 二重积分的定义

设 $f(x, y)$ 是平面闭区域 $D$ 上的有界函数，将 $D$ 任意分割成 $n$ 小块: $\Delta D_1, \Delta D_2, \cdots \Delta D_n$ ，记第 $i$ 块的面积为 $\Delta \sigma_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，在第 $i$ 块上任取一点 $\left(x_i, y_i\right)$ (见图 7-4)，
 
作 $\sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ ，取 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n} \operatorname{diam}\left\{\Delta \sigma_i\right\}$ ，即
$\lambda$ 是各 $\Delta D_i$ 的直径中的最大值. 当 $\lambda \rightarrow 0$ 时，如果
$\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ 总是存在，则极限值称为函数
$f(x, y)$ 在平面闭区域 $D$ 上的二重积分，
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231ffff662.png){width=400px}
记为

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i .
$$

其中 $D$ 称为**积分区域**， $f(x, y)$ 称为**被积函数**， $\mathrm{d} \sigma$ 称为**面积微元**， $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 称为**被积表达式**， $\sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ 称为**积分和**.

如果二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 存在，也称函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上可积.

> **上面这句话隐含一句：如果二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 不存在，则称作函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上不可积**

因此，当我们说，$f(x, y)$可积时，已经默认二重积分存在。这就像我们定义负数是小于零的数。当数一个数为负数时，隐含这他小于零。

由二重积分的定义可知，在区域 $D$ 上可积的函数 $f(x, y)$ 一定是 $D$ 上的有界函数. 反过来，什么样的函数一定是可积的呢? 我们不加证明给出下面的定理.

##  连续函数可积
**定理1** 在区域 $D$ 上的连续函数一定是 $D$ 上的可积函数.
很容易知道，
①当 $f(x, y) \geq 0$ 时，曲顶柱体的体积 $V=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ；

②当 $f(x, y)<0$ 时，对应的二重积分是负值，故曲顶柱体的体积 $V=-\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$.

③ 如果$f(x, y)$ 部分大于零，部分小于零，那么直接大见小即可。

> 这里需要注意两个概念：二重积分的几何意义是曲顶柱体体积 和 求曲顶柱体体积内涵并不一样。 二重积分的几何意义表示的是曲顶柱体体积意味着，他可以为正，可以为负。 而利用二重积分求曲顶柱体体积，这句话隐含这现实的需求：体积一定是正的。

`例` 用二重积分表示上半球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 1, z \geq 0$ 的体积，并写出积分区域.
解 首先上半球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 1$ 与 $x O y$ 面的交线

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2+z^2=1 \\
z=0
\end{array},\right.
$$

即为区域 $D$ 的边界曲线: $\quad x^2+y^2=1$.
上半球面所对应的方程为

$$
z=\sqrt{1-x^2-y^2} .
$$

故上半球面可以看成是以 $D$ 为底的，以 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 为顶的曲顶柱体的体积 (见下图)，
故 $V=\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2} \mathrm{~d} \sigma$ ，
其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$.

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## 几个注意事项

#### 二重积分的存在定理
若 $f ( x , y )$ 在闭区域 $D$ 上连续, 则 $f ( x , y )$ 在 $D$ 上的二重积分存在.

#### 面积元
$\iint_D f(x, y) d \sigma$ 中的面积元素 $d \sigma$ 象征着积分和式中的 $\Delta \sigma_i$.

由于二重积分的定义中对区域 $D$ 的划分是任意的, 若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域 $D$, 那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外, 绝大多数的小区域都是矩形, 因此, 可以将 $d \sigma$ 记作 $d x \boldsymbol { d } y$ (并称 $d d d y$ 为直角坐标系下的面积元素)，二重积分也可表示成为 $\iint_D f(x, y) d x d y$ 。

#### 二重积分几何意义的体积可为负
若 $f(x, y) \geq 0$, 二重积分表示以 $f(x, y)$ 为曲顶, 以 $D$ 为底的曲顶柱体的体积，若若 $f(x, y) \leq 0$, 二重积分表示以 $f(x, y)$ 为曲顶, 以 $D$ 为底的曲顶柱体的体积但是值为负.

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