最后更新: 2025-04-08 18:37 查看: 365 次反馈刷题

二重积分的性质与中值定理

## 二重积分的性质
二重积分有着和定积分相似的性质, 以下性质均假设被积函数在所在区域上 可积.

#### 对积分函数的的有限可加性
性质 $1 \iint_D[f(x, y)+g(x, y)] \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\iint_D g(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ；

#### 线性性质
性质 $2 \iint_D k f(x, y) \mathrm{d} \sigma=k \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \quad(k \in R)$ ；

#### 对积分区域的有限可加性
性质 3 设 $D$ 由 $D_1 、 D_2$ 组成，则

$$
\iint_{D=D_1+D_2} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D_1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\iint_{D_2} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \text {; }
$$

#### 体积等于高为1的面积
性质 4 如果 $f(x, y) \equiv 1$ ，则有 $\iint_D 1 \mathrm{~d} x=\iint_D \mathrm{~d} x=D$ 的面积;
这个性质表明: 以 $D$ 为底、高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的 底面积.

#### 不等式性质
性质 5 如果在区域 $D$ 上满足 $f(x, y) \leq g(x, y)$ ，则有 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leq \iint_D g(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ；
特别地，
有 $\left|\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma\right| \leq \iint_D|f(x, y)| \mathrm{d} \sigma$.

#### 估值不等式
性质 6 设 $S_D$ 是区域 $D$ 的面积. 如果 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有最大值 $M$ 和最小值 $m$ ， 则有

$$
m S_D \leq \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leq M S_D ;
$$

这个不等式称为二重积分的**估值不等式**.

#### 二重积分的中值定理
性质 7 (二重积分的中值定理) 如果 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则在 $D$ 上至少可以找到一点 $(\xi, \eta)$ ，使得

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=f(\xi, \eta) \cdot S_D .
$$

## 例题
`例`比较积分 $\iint_D \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ 与 $\iint_D[\ln (x+y)]^2 \mathrm{~d} \sigma$ 的大小，其中区域 $D$ 是三角形闭区域，三顶点各为 $(1,0),(1,1),(2,0)$.
解 如图 7-6，三斜边方程 $x+y=2$, 在 $D$ 内有 $1 \leq x+y \leq 2<\mathrm{e}$, 故 $0 \leq \ln (x+y) \leq \ln 2<\ln \mathrm{e}<1$,
于是 $\ln (x+y)>[\ln (x+y)]^2$, 因此

$$
\iint_D \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma>\iint_D[\ln (x+y)]^2 \mathrm{~d} \sigma .

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231e8ad39b.png)

`例`不作计算，估计 $I=\iint_D \mathrm{e}^{\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma$ 的值，其中 $D$ 是椭圆闭区域:

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \quad(0<b<a) .
$$

解 区域 $D$ 的面积 $\sigma=a b \pi$, 在 $D$ 上因为 $0 \leq x^2+y^2 \leq a^2$,

所以
$$
 1=\mathrm{e}^0 \leq \mathrm{e}^{x^2+y^2} \leq \mathrm{e}^{a^2} \text {. }
$$

由性质 6 知 $\sigma \leq \iint_D \mathrm{e}^{\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma \leq \sigma \cdot \mathrm{e}^{a^2}$ ，
从而有 $a b \pi \leq \iint_D \mathrm{e}^{\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma \leq a b \pi \mathrm{e}^{a^2}$.

`例`估计二重积分 $I=\iint_D\left(x^2+4 y^2+9\right) d \sigma$ 的值, $D$ 是圆域 $x^2+y^2 \leq 4$.
解: 求被积函数 $f(x, y)=x^2+4 y^2+9$ 在区域 $D$ 上可能的最值

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial f}{\partial x}=2 x=0 \\
\frac{\partial  {f}}{\partial y}=8 y=0
\end{array}\right.
$$

$(0,0)$ 是驻点, 且 $f(0,0)=9$;
在边界上, $f(x, y)=x^2+4\left(4-x^2\right)+9=25-3 x^2(-2 \leq x \leq 2)$

$$
\begin{aligned}
& 13 \leq f(x, y) \leq 25 \\
& f_{\max }=25, f_{\min }=9
\end{aligned}
$$

于是有

$$
36 \pi=9 \cdot 4 \pi \leq I \leq 25 \cdot 4 \pi=100 \pi
$$

`例`  设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续, $F(t)=\iint_{x^2+y^2 \leqslant t^2} f(x, y) d \sigma$, 则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^2}=$

【解析】由积分中值定理得,

$$
\iint_{x^2+y^{\prime} \leqslant t^2} f(x, y) d \sigma=f(\xi, \eta) \cdot \pi t^2 \text {, 其中 }(\xi, \eta) \in D, D: x^2+y^2 \leqslant t^2 \text {, }
$$

所以

$$
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^2}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(\xi, \eta) \cdot \pi t^2}{t^2}=\pi \lim _{t \rightarrow 0^{+}} f(\xi, \eta)=\pi f(0,0)
$$

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