最后更新: 2025-04-09 11:55 查看: 366 次反馈刷题

阅读：计算抽象多元复合函数二阶偏导数时容易产生的一种典型错误

设 $z=f(x+y, x y), f$ 具有二阶连续偏导数．有人用下面的方法

$$
\text { 求 } \begin{aligned}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \text { : 令 } u & =x+y, v=x y, \text { 则 } \\
\frac{\partial z}{\partial x} & =f_u(u, v) \frac{\partial u}{\partial x}+f_v(u, v) \frac{\partial v}{\partial x}=f_u(u, v)+y f_v(u, v), \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & =\frac{\partial}{\partial x}\left[f_u(u, v)+y f_v(u, v)\right]=\left[\frac{\partial}{\partial x} f_u(u, v)\right]+y\left[\frac{\partial}{\partial x} f_v(u, v)\right] \\
& =f_{u u}(u, v) \frac{\partial u}{\partial x}+y f_{v v}(u, v) \frac{\partial v}{\partial x}=f_{u u}(u, v)+y f_{v v}(u, v) .
\end{aligned}
$$

这样做对吗？为什么？
答 一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的计算方法和结果都是对的，但二阶偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ 的计算是错误的．产生错误的原因是在求 $\frac{\partial}{\partial x} f_u(u, v)$ 和 $\frac{\partial}{\partial x} f_v(u, v)$
 ![图片](/uploads/2025-04/44ba04.jpg)
 
 时，没有理解或者没有弄清楚抽象函数的一阶偏导函数 $f_u(u, v)$ 和 $f_v(u, v)$ 的复合结构与原来函数 $f$ 的复合结构是完全一样的，它们仍然都是以 $u, v$ 为中间变量，$x, y$ 为自变量的复合函数，显示复合结构的树形图也相同（如图 6．5．4 所示），因此，正确的计算方法是

$$
\frac{\partial}{\partial x} f_u(u, v)=f_{u u}(u, v) \frac{\partial u}{\partial x}+f_{u v}(u, v) \frac{\partial v}{\partial x}=f_{u u}(u, v)+y f_{u v}(u, v)
$$

同理，$\frac{\partial}{\partial x} f_v(u, v)=f_{v u}(u, v)+y f_{v v}(u, v)$ ．从而得

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & =f_{u u}(u, v)+y f_{u v}(u, v)+y\left[f_{v u}(u, v)+y f_{v v}(u, v)\right] \\
& =f_{u u}(u, v)+2 y f_{u v}(u, v)+y^2 f_{v v}(u, v)
\end{aligned}
$$

此例中的错误是很多初学者很容易犯的一种典型错误，在教学过程中应当特别提醒学生注意！

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