最后更新: 2025-05-11 18:32 查看: 580 次反馈刷题

高斯公式 Gauss公式

### 三大公式概述
曲线积分、曲面积分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元积分学最复杂的内容，下表列出了各种积分的关心，方便读者理解其间的关系。
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![图片](/uploads/2025-01/629cce.jpg){width=500px}
 
## 高斯公式
格林公式表达出平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的 关系，而高斯公式表达出空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分的关 系.

### 定义
设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的曲面 $\Sigma$ 围成，函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z)$ 、 $R(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则

$$
\boxed{
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} S
}
$$

其中 $\Sigma$ 取外侧， $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的法向量 $n$ 的方向余弦.

证 如图 7-96，设 $\Sigma_1: z=z_1(x, y) ，(x, y) \in D_{x y}$ ，取下侧; 设 $\Sigma_2: z=z_2(x, y)$ $(x, y) \in D_{x y}$ ， 取上侧， $\Sigma_3$ : 以 $D_{x y}$ 的边界曲线为准线而母线平行于 $z$ 轴的柱面的 一部分，取外侧.
一方面，由三重积分计算法，有

$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} v=\iint_{D_{y y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{D_{x y}}\left[R\left(x, y, z_2(x, y)\right)-R\left(x, y, z_1(x, y)\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230101b116d49.png){width=300px}

另一方面，由第二类曲面积分公式，有 $\iint_{\Sigma} R \mathrm{dxd} y=\left(\iint_{\Sigma_1}+\iint_{\Sigma_2}+\iint_{\Sigma_3}\right) R \mathrm{dxdy}$

$$
\begin{aligned}
& =-\iint_{D_{y y}} R\left(x, y, z_1(x, y)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{N y}} R\left(x, y, z_2(x, y)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+0 \\
& \left.=\iint_{D_{w y}} R\left(x, y, z_2(x, y)\right)-R\left(x, y, z_1(x, y)\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
\end{aligned}
$$

故得到 $\iint_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ；同理可得， $\iiint_{\Omega} \frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x ， \iiint_{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ， 因此 $\quad \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.

> Gauss 公式 左端的被积函数 $\operatorname{div} A$ 表示向量场 $A$ 在点 $M$ 处的通量密度。从而 $\operatorname{div} A d V$ 表示 $A$ 通过微小立体（ $d V$ ）的表面的通量．Gauss 公式左端的积分表示将 $(V)$ 上所有这些（ $d V$ ）边界曲面上通过的通量＂无限累加＂。在累加过程中，由于相邻微小区域（ $d V$ ）的邻接曲面上的通量相互抵消，就只剩下 $A$通过 $(V)$ 边界曲面 $(S)$ 的通量．Gauss 公式所反映的这一物理意义也是显而易见的．

## 高斯公式的物理意义
①有一个长方体的游泳池，处于满水状态。泳池底部有一个注水孔。打开开关后，水会从泳池的顶部向外溢出来。根据直觉和经验，我们可以下一个结论：每秒钟，从加水孔流入的水的体积，一定等于每秒钟从顶部溢出去的水的体积。
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②有一段输水管，管中的水从左向右流动。取两个截面A，B。我们可以知道，每秒钟通过 $A$ 截面流入的水的体积，必定等于通过 $B$ 截面流出的水体积
 ![图片](/uploads/2025-01/8a3134.jpg){width=300px}

以上两个简单的例子，本质上来说，都在表达一种守恒：对于一个固定区域，每秒钟流入的水量，必定等于每秒流出的水量。高斯公式看似复杂难懂，但却朴素地表达着这种**守恒的观点**。

**高斯公式各项的物理意义**
高斯公式其实就是高斯把这两个例子所表达的那种守恒翻译成了数学语言。
我们以前文两个例子作为应用场景，话说有一个封闭区域（比如一个泳池 他由A，B截面以及管道围城的区域）的体积为 $\Omega$ ，这个区域内充满了水。围成这块区域的边界为 $\Sigma$（泳池的底，和四面墙以及顶部构成了边界 $\Sigma$ ），那么我们可以得出：

![图片](/uploads/2025-01/5a672c.jpg)

这便是高斯公式本式了，有体积分，有偏导，有曲面积分，乍一看很复杂。所以一部分一部分地研究。
第一部分表示把游泳池分成无数个无限小的区域（体积微元），每个区域向外释放出的水的体积。
第二部分是一个体积分，对象为 $\Omega$ ，即整个游泳池，表示的意义就是把泳池中无数个无限小的区域向外释放的水的体积给全部加起来。
综上，等号左边表示的意义就是：**泳池内部总的进水量**。
第三部分是一个封闭曲面积分 ，对象为 $\Sigma$ ，即泳池的六个边界。表示的物理意义是，**泳池通过边界向外泄露的水量**。
所以，高斯公式就是在表达，泳池通过进水口的进水体积，等于通过泳池边界排出去的水的体积。
从这个角度来看，高斯公式很容易理解。

#### 物理意义很简单，但为什么要这么写。
下面解释一下，上文中，高斯公式的三部分为什么那么写。
$$
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}\right) d v=\oint_{\Sigma} U d y d z+V d x d z+W d x d y
$$

1.先从等号右边说起。
等号右边所代表的物理意义叫**通量** 。通量是一个物理学上的概念，是**强度与有效面积的乘积**。

比如，高中所学的磁通量 $\Phi=B \bullet S$ ， $B$就是磁感应强度， S 表示正对面积。
在日常生活以及流体力学中，我们通常把通量叫做流量。单位为L／S，也就是单位时间内流过的体积。
现在的问题是，如何计算水穿过复杂的边界 $\Sigma$ 流出去的体积。
先考虑简单的一维情况：
 ![图片](/uploads/2025-01/c776ef.jpg){width=250px}
 水的流速为 U ，单位时间内通过截面积 S 的体积为 $U \bullet S$ ，写成微分形式为 $U d S$ ，其中， S 表示正对的有效面积，也就是说，$S$ 与 $D$ 垂直。

一维情况很容易理解。如果考虑真实的三维情况，我们需要借助向量这个有利工具。
在三维情况下，水的流速并不是只朝着一个方向，而是沿着 $x, y, z$ 三个方向上都有分量，这三个分量可以设为 $U , V , W$ 。

上段说到，截面积为与速度垂直的有效面积，既然速度有三个方向的分量，那么速度垂直穿过的面积就有三个方向，分别为 $y z$ 平面，$x z$ 平面，$x y$ 平面。
 ![图片](/uploads/2025-01/73d936.jpg){width=300px}
 
在这三个平面上分别取微元 $S 1, S 2, S 3$ 。写成微分形式分别为 $dydz , dxdz , dxdy$ 。
所以，三维情况下，流量计算公式变为

$$
(U, V, W) \cdot(dydz, dxdz, dxdy)=Udydz+Vdxdz+Wdxdy
$$

积分后，便可得到通过边界 $\Sigma$ 的总流量：

$$
\oint_{\Sigma} U d y d z+V d x d z+W d x d y
$$

再说说等号左边。

等号左边是一个体积积分，意思是说，把泳池分成了无数多份无限小的区域。对于每一个无限小区域，我们只需要求出其体积的相对变化量即可。
我们取一个正方体的无限小微团，其边长分别为 $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ ，三者相等。为了简化作图，我只考虑x轴方向上的一条边 $AB $，经过时间 $\Delta t$ 变为 $A ^{\prime} B ^{\prime}$ 。

![图片](/uploads/2025-01/ad1a26.jpg){width=300px}

水平速度 U 对 x 轴求偏导，得到速度沿水平方向上的变化率：$\frac{\partial U}{\partial x}$
上述变化率再乘以 AB 的原长 $\Delta x$ ，便可得到 B 相对于 A 的速度：$\frac{\partial U}{\partial x} \Delta x$
上述速度乘以时间 $\Delta t$ ，便得到 B 相对于 A 的位移：$\frac{\partial U}{\partial x} \Delta x \Delta t$
上述位移加上原长 $\Delta x$ ，便得到新的微团的长度：$\Delta x+\frac{\partial U}{\partial x} \Delta x \Delta t$
同理，新的微团的宽度为：$\Delta y+\frac{\partial V}{\partial y} \Delta y \Delta t$
新的微团的厚度为：$\Delta z+\frac{\partial W}{\partial z} \Delta z \Delta t$
所以，新微团的体积变为

$$
\left(\Delta x+\frac{\partial U}{\partial x} \Delta x \Delta t\right)\left(\Delta y+\frac{\partial V}{\partial y} \Delta y \Delta t\right)\left(\Delta z+\frac{\partial W}{\partial z} \Delta z \Delta t\right)
$$

减去原微团的体积，得到相对体积变化量：

上述相对体积变化量除以原微团体积，得到相对体积变化率：

$$
\frac{\left(\Delta x+\frac{\partial U}{\partial x} \Delta x \Delta t\right)\left(\Delta y+\frac{\partial V}{\partial y} \Delta y \Delta t\right)\left(\Delta z+\frac{\partial W}{\partial z} \Delta z \Delta t\right)-\Delta x \Delta y \Delta z}{\Delta x \Delta y \Delta z}
$$

这个变化率还要除以时间 $\Delta t$ ，便得到单位时间内的相对体积变化率：

上述结果化简后便得到 $\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}$
所以，对于每一个无限小的微团，单位时间内，其体积的相对变化为：

$$
\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}
$$

对上述结果进行体积分，便得到单位时间内整个泳池内部所有微团产生的体积之和，即为高斯公式左边部分。

上述是高斯公式左半部分的详细推导过程，看看即可，并不要求推导。
因为，有一个现成的概念：**散度**

微积分课程上提到过三个类似的概念，分别为梯度，散度，旋度 。这三个概念中都含有哈密顿算 $子  \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$ ，是一个矢量。

对一个向量 $(u, v, w)$ ，取散度，应该为 $\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) \bullet(U, V, W)$ ，
两个向量点乘，应该得一标量，上式结果为：

$$
\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}
$$

这坨东西就叫做散度 。
**散度所表达的意思就是：对一个无限小的微团，内部通过微团的边界向外界释放，流出的流量。** 这就是散度的最基本的定义。

对上述散度求体积分，便得到高斯公式等号左边的内容。
综上：高斯公式等号左边表达的意思就是：把泳池分成无数多个无限小的区域。把每个区域向外释放的水的体积加起来，得到的总量，就是通过进水口向泳池进水的体积。

结合本节1，2两部分，可以知道，高斯公式在阐述：
通过泳池的进水口流进泳池的水，等于通过泳池边界漏出去的水。

`例` 计算曲面积分

$$
I=\iint_{\Sigma}(x-y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-x z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ，
$$

其中 $\Sigma$ 是由三个坐标面及平行于坐标面的平面 $x=a 、 y=a 、 z=a(a>0)$ 所围成 的正方体的外表面.
解：（根据高斯公式，从右到左进行计算，也就是把二重积分转换为三重积分） 令 $P(x, y, z)=(x-y z), Q(x, y, z)=(y-x z), R(x, y, z)=(z-x y)$,
则 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=3$ ，由高斯公式，得

$$
I=\iiint_{\Omega}^{-} 3 \mathrm{~d} v=3 \iiint_{\Omega}^{-} \mathrm{d} v=3 a^3 .
$$

`例`计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, 其中 $\Sigma$ 为柱面 $x^2+y^2=1$ 及 平面 $z=0, z=3$ 所围成的空间闭区域 $\Omega$ 的整个边界曲面的外侧 (见图 7-97).
解 $P=(y-z) x, Q=0, R=x-y, \frac{\partial P}{\partial x}=y-z, \frac{\partial Q}{\partial y}=0, \frac{\partial R}{\partial z}=0$,
利用高斯公式，得

$$
\begin{aligned}
& \iint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{\Omega}(y-z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega}(r \sin \theta-z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{d} z \\
& =\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1 \mathrm{~d} r \int_0^3(r \sin \theta-z) r \mathrm{~d} z=-\frac{9 \pi}{2} .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/e3ad3a.jpg){width=300px}

`例`求 $\iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma: z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ ， 取上侧.
解 取 $\Sigma_1: z=0\left(x^2+y^2 \leq a^2\right)$ 的下侧， $\Sigma$ 及 $\Sigma_1$ 所围区域为 $\Omega ， \Omega$ 在 $x O y$ 面 上的投影区域为 $D: x^2+y^2 \leq a^2$ ，

$$
\begin{aligned}
& \iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
&= \iint_{\Sigma+\Sigma_1}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y- \\
& \iint_{\Sigma_1}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
&=\left.\iiint_{\Omega} 2(x-z) \overline{\mathrm{d} v-(-)} \bar{\int} \int_D(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)=-2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{zd} v+\iint_D \overline{\mathrm{d}} \overline{\mathrm{d}} \mathrm{d} \mathrm{d} y
\end{aligned}
$$

$$
\begin{gathered}
\iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v+\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
=-2 \int_0^a z \mathrm{~d} z \iint_{D=} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\pi a^2=-2 \int_0^a \pi\left(a^2-z^2\right) z \mathrm{~d} z+\pi a^2=-\frac{\pi}{2} a^4+\pi a^2=\frac{\pi a^2}{2}\left(2-a^2\right) .
\end{gathered}
$$

`例`计算 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ， 其中 $\Sigma: z=\sqrt{x^2+y^2}$ $(0 \leq z \leq h)$ 取下侧， $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的法向量 $n$ 的方向余弦 解 引入平面 $\Sigma_1: z=h\left(x^2+y^2 \leq h^2\right)$ ，取上侧.

解：
$$
\begin{aligned}
I & =\iint_{\Sigma}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S \\
& =\iint_{\Sigma+\Sigma_1}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S-\iint_{\Sigma_1}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S \\
& =2 \iiint_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} v-\iint_{D_w} h^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v-h^2 \cdot \pi h^2 \\
& =2 \int_0^h z \pi z^2 \mathrm{~d} z-\pi h^4=\frac{\pi h^4}{2}-\pi h^4=-\frac{\pi h^4}{2} .
\end{aligned}

注：上面的解释改编自[知乎答复](https://www.zhihu.com/question/326568092/answer/860302644)

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