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第八章 无穷级数
幂级数收敛举例
日期:
2023-10-01 11:28
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幂级数收敛举例
例 3 求下列幂级数的收敛域: (1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n 2^n x^{2 n-1}$; (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n+(-2)^n}{n}(x+1)^n$. 解 (1) 该级数为缺项级数，不能用定理 2，需直接用比值法 (或根比值法) 判别: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^n 2^{n+1} x^{2 n+1}}{(-1)^{n-1} 2^n x^{2 n-1}}\right|=2|x|^2$ ，当 $2|x|^2<1$ ，即 $|x|<\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，级数收敛； 当 $|x| \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时， $\left|u_n(x)\right|=2^n|x|^{2 n-1} \geq 2^n\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2 n-1}=\sqrt{2}$ ， 即 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_n(x)\right| \neq 0$ ， 也即 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n(x) \neq 0$ ， 因此该级数收敛域为 $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. (2) 由 $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3^{n+1}+(-2)^{n+1}}{n+1}}{\frac{3^n+(-2)^n}{n}}=3$ ，故 $R=\frac{1}{3}$, 当 $x+1=-\frac{1}{3}$ ，即 $x=-\frac{4}{3}$ 时，级数成为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n+(-2)^n}{n}\left(-\frac{1}{3}\right)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n\right] $$ 由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} ， \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ 收敛，故 $(*)$ 收敛； 当 $x+1=\frac{1}{3}$ ，即 $x=-\frac{2}{3}$ 时，级数成为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n+(-2)^n}{n}\left(\frac{1}{3}\right)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n\right] $$ 由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ 收敛，故(**)发散，故该级数收敛域为 $\left[-\frac{4}{3},-\frac{2}{3}\right)$.
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