最后更新: 2025-04-23 07:00 查看: 384 次反馈刷题

函数展开成幂级数

## 函数展开成幂级数
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$ ，和函数为 $s(x)$ ，即

$$
s(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, x \in(-R, R)
$$

上式表明：
（1）$s(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数．
（2）函数 $s(x)$ 可以写成幂级数这样一种形式的表达式，从而可以利用这一表达式来研究函数 $s(x)$ ．

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$ ，和函数为 $s(x)$ ，即 $s(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, x \in(-R, R)$上式表明：
（3）$n$ 次多项式 $P_n(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots a_n x^n$
是该幂级数的前 $n+1$ 项部分和，由级数收玫的概念，应有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P_n(x)=s(x), x \in(-R, R) .
$$

从而当 $|x|<R$ 时，有

$$
s(x) \approx P_n(x) .
$$

这既是用多项式近似表达函数．

## 可展开成幂级数
现在给定函数 $f(x)$ ，要寻求一个幂级数，是它的和函数恰为 $f(x)$ ，这一问题称为把函数 $f(x)$ 展开成幂级数．现设存在幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $(-r, r)$ 内的和函数为 $f(x)$ ，即

$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, x \in(-r, r) ...(4)
$$

则称 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可展开幂级数，且（4）式的右端的幂级数称为函数在点 $x=0$处的幂级数展开式．

现在我们考察幂级数的系数 $a_n(n=1,2, \cdots)$ 的表达式．根据幂级数的和函数的性质可知，当（5）式成立时，在 $(-r, r)$ 内 $f(x)$ 有任意阶导数，且 $f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^{\infty} n(n-1) \cdots(n-k+1) a_n x^{n-k}$, 于是 $f(0)=a_0, f^{\prime}(0)=a_1, \cdots, f^{(k)}(0)=k!a_k$,

即有

$$
a_k=\frac{1}{k!} f^{(k)}(0), k=1,2, \cdots
$$

由此可知，如果 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可展开幂级数，那么在 $f(x)$ 在 $x=0$ 的邻域内必有任意阶的导数，其展式必是幂级数

$$
f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2!} f^{\prime \prime}(0) x^2+\cdots+\frac{1}{n!} f^{(n)}(0)+\cdots ...(6)
$$

幂级数（6）称为函数 $f(x)$ 的麦克劳林级数．

反之，设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的邻域内有任意阶导数，那么总可以作出 $f(x)$ 的麦克劳林级数．那么麦克劳林级数的和函数和 $f(x)$ 有什么关系？我们不加证明的给出下面的定理。

## 定理 7 （初等函数的展开定理）
设 $f(x)$ 是一个初等函数，且在 $x=0$ 的邻域内有任意阶导数，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可展开幂级数，且有展开式

$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)}(0) x^n, x \in(-r, r)
$$

在端点 $x= \pm r$ 处，如果级数收敛且 $f(x)$ 也有定义，则展开式（7）在该端点处也成立。

`例` 求函数 $f(x)= e ^x$ 的麦克劳林展开式．

解 $f^{(n)}(x)= e ^x, f^{(n)}(0)=1$ ．
因 $f(x)= e ^x$ 为初等函数，故

$$
e^x=1+x+\frac{1}{2!} x^2+\cdots+\frac{1}{n!} x^n+\cdots
$$

再求级数的收玫半径．由 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0$ ，得 $R=+\infty$ ．而 $f(x)= e ^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有任意阶导数，故（8）式在 $(-\infty,+\infty)$ 内成立．

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