最后更新: 2025-04-23 07:24 查看: 379 次反馈刷题

傅里叶级数

## 傅里叶级数展开三角函数系

>  关于傅里叶级数更详细教程请访问 [数学分析](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2143) 里的教程, 关于傅里叶变换的意义请参考复变函数 [复变函数傅里叶变换的作用](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1872)

下面我们讨论函数展开成三角级数时的系数.
假设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，且函数 $f(x)$ 能展开成三角级数，即有

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) ...(1) ，
$$

其中， $a_0 、 a_n 、 b_n(n=1,2, \cdots)$ 都是常数，称为三角级数的系数. 这些系数与 $f(x)$ 之间有何种关系? 又是如何确定的? 为此，我们进一步假设上述三角级数
(1) 可逐项积分.
在等式 (1) 两边关于 $x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上积分，得

$$
\int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2} \mathrm{~d} x+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) \mathrm{d} x=\frac{a_0}{2} \cdot 2 \pi=a_0 \pi ，
$$

即

$$
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x \text {; }
$$

用 $\cos m x$ 乘以等式 (1) 两端，然后关于 $x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上积分，得

$$
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos m x \mathrm{~d} x & =\int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2} \cos m x \mathrm{~d} x+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi\left(a_n \cos n x \cos m x+b_n \sin n x \cos m x\right) \mathrm{d} x \\
& =a_m \int_{-\pi}^\pi \cos ^2 m x \mathrm{~d} x=a_m \pi,
\end{aligned}
$$

于是 $a_m=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos m x \mathrm{~d} x$ ， 即 $a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x ， n=1,2, \cdots$ ，
同样，用 $\sin m x$ 乘以等式 (1) 两端，然后关于 $x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上积分，得

$$
\begin{aligned}
& \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin m x \mathrm{~d} x=\int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2} \sin m x \mathrm{~d} x+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi\left(a_n \cos n x \sin m x+b_n \sin n x \sin m x\right) \mathrm{d} x \\
&=b_m \int_{-\pi}^\pi \sin ^2 m x \mathrm{~d} x=b_m \pi,
\end{aligned}
$$

得 $b_m=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin m x \mathrm{~d} x$ ，即

$$
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots

## 傅里叶级数定义
 若 $a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) d x$ ，

$$
\begin{aligned}
& a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x d x \\
& b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x d x, \quad n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$

存在，则由它们确定的系数 $a_0, ~ a_n, ~ b_n, n=1,2, \cdots$ 就叫做函数 $f(x)$ 的傅里叶系数，而三角级数 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$ 就叫做函数 $f(x)$ 的**傅里叶级数**．

开VIP会员赞助本站

非会员每天6篇，会员每天16篇，VIP会员无限制访问

题库训练自我测评投稿

上一篇：三角函数系与正交函数系

下一篇：函数展开成傅里叶级数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)