最后更新: 2025-04-27 17:27 查看: 365 次反馈刷题

函数展开成傅里叶级数

## 傅里叶级数定义

1804年，数学家傅里叶首次提出一个结论：**在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单词的正弦与余弦之和**。但是傅里叶并没有给出严格的证明，1929年，德国数学家狄利克雷给出了周期函数的展开为傅里叶变换提供了理论依据。

## 时域与频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但**如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的**。
先看一下下图：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？一个随着时间变化的震动，这是我们对音乐最普遍的理解，很多音乐播放器也会使用此种背景图
  ![图片](/uploads/2025-01/746be1.jpg)
  
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
 ![图片](/uploads/2025-01/eebb9f.jpg)
 
 上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
 将以上两图简化：
 时域：
  ![图片](/uploads/2025-01/71d904.jpg)
频域：
 ![图片](/uploads/2025-01/d1f0fe.jpg)
 
 在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
 你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)
 
## 任何图形都可以由正弦加余弦表示
正弦与余弦是常见的最基本的三角函数，如果我说使用正弦和余弦可以生成矩形你信吗？参考下图：

①第一幅图是一个郁闷的正弦波$\cos(x)$
②第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加$\cos(x)+a\cos(3x)$
③第三幅图是4个发春的正弦波的叠加
④第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加

![图片](/uploads/2025-01/a7d2b4.jpg){width=400px}

从这里可以看到，随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！）

关于傅里叶级数的意义，请参考 [傅里叶变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1872)

### 定义

定义 若 $a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x$ ，

$$
\begin{aligned}
& a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x, \\
& b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$

存在，则由它们确定的系数 $a_0 ， a_n, b_n, n=1,2, \cdots$ 就叫做函数 $f(x)$ 的傅里叶系 数，而三角级数 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$ 就叫做函数 $f(x)$ 的傅里叶级数.

## 狄利克雷 (Dirichlet) 充分条件
下列我们不加证明地叙述一个收敛定理，它可以来回答上述问题.
定理 1 (收敛定理，狄利克雷 (Dirichlet) 充分条件) 设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，如果它满足:
（1）在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点，
（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，
则 $f(x)$ 的傅里叶级数收玫，并且当 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点时，级数收敛于 $f(x)$ ， 当 $x$ 为 $f(x)$ 间断点时，级数收敛于 $\frac{1}{2}\left[f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)\right]$.
收敛定理告诉我们：只要函数 $f(x)$ 满足定理条件，则在 $C=\left\{x \mid f(x)=\frac{1}{2}\left[f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)\right]\right\}$上就有

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) \text {, }
$$

即在 $C$ 上函数 $f(x)$ 可展开成傅里叶级数.
注 显然将函数展开成傅里叶级数的条件比起将函数展开成幂级数的条件 要低得多，因此傅里叶级数的应用要比幂级数广泛得多.

`例` 设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，它在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-1, & -\pi \leq x<0, \\ 1, & 0 \leq x<\pi,\end{array} \quad\right.$ 将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数.
解 所给函数满足收玫定理的条件，点
$x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \cdots$ 是它的第一类间断点，其他点均为
连续点. 因此， $f(x)$ 的傅里叶级数在处收玫于

$$
\frac{1}{2}\left[f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)\right]=\frac{1}{2}(1-1)=0 ，
$$

在其余点处收玫于 $f(x)$. 和函数的图形如图 8-3
所示.
![图片](/uploads/2023-01/image_202301017dd8848.png)
现在计算 $f(x)$ 的傅里叶系数.

$$
\begin{aligned}
a_n & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi}\left[-\int_{-\pi}^0 \cos n x \mathrm{~d} x+\int_0^\pi \cos n x \mathrm{~d} x\right]=0, \quad n=0,1,2, \cdots \\
b_n & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi}\left[-\int_{-\pi}^0 \sin n x \mathrm{~d} x+\int_0^\pi \sin n x \mathrm{~d} x\right] \\
& =\frac{1}{\pi}\left[\frac{\cos n x}{n}\right]_{-\pi}^0+\frac{1}{\pi}\left[-\frac{\cos n x}{n}\right]_0^\pi=\frac{1}{n \pi}[1-\cos n \pi]+\frac{1}{n \pi}[-\cos n x+1] \\
& =\frac{2}{n \pi}[1-\cos n \pi]=\frac{2}{n \pi}\left[1-(-1)^n\right]=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{4}{n \pi}, & n=1,3,5, \cdots \\
0, & n=2,4,6, \cdots
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

$$
\begin{gathered}
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-1, & -\pi \leq x<0, \\
1, & 0 \leq x<\pi,
\end{array} \quad \text { 将 } f(x)\right. \text { 展开成傅里叶级数. } \\
a_n=\frac{1}{\pi}\left[-\int_{-\pi}^0 \cos n x \mathrm{~d} x+\int_0^\pi \cos n x \mathrm{~d} x\right]=0, n=0,1,2, \cdots \quad b_n=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{4}{n \pi}, & n=1,3,5, \cdots \\
0, & n=2,4,6, \cdots
\end{array}\right.
\end{gathered}
$$

因此 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n \pi}\left[1-(-1)^n\right] \sin n x=\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} \sin (2 n-1) x$ ，

$$
(-\infty<x<+\infty ; x \neq 0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \cdots)
$$

`例` 设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，它在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & -\pi \leq x<0, \\ 0, & 0 \leq x<\pi,\end{array}\right.$, 将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数.
解 所给函数满足收敛定理的条件，点 $x=\pm \pi, \pm 3 \pi, \cdots$ 是它的第一类间断点， 其他点均为连续点. 因此， $f(x)$ 的傅里叶级数在间断点处收敛于

$$
\frac{1}{2}\left[f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)\right]=\frac{1}{2}(0-\pi)=-\frac{\pi}{2},
$$

在其余点处收敛于 $f(x)$. 和函数的图形如图 8-4 所示.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230101d0162a8.png)
现在计算 $f(x)$ 的傅里叶系数. $a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 x \mathrm{~d} x=-\frac{\pi}{2}$;

$$
\begin{gathered}
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 x \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{n \pi}\left[x \sin n x+\frac{1}{n} \cos n x\right]_{-\pi}^0 \\
=\frac{1}{n^2 \pi}(1-\cos n \pi)=\frac{1}{n^2 \pi}\left[1-(-1)^n\right]=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{2}{n^2 \pi}, & n=1,3,5, \cdots, \\
0, & n=2,4,6, \cdots ;
\end{array}\right.
\end{gathered}
$$

$$
\begin{aligned}
b_n & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 x \sin n x \mathrm{~d} x=-\frac{1}{n \pi}\left[x \cos n x-\frac{1}{n} \sin n x\right]_{-\pi}^0 \\
& =-\frac{1}{n \pi}[-(-\pi) \cos n \pi]=-\frac{\cos n \pi}{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}, n=1,2, \cdots,
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 因此 } f(x)=-\frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1-(-1)^n}{n^2 \pi} \cos n x+\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin n x\right] \\
& =-\frac{\pi}{4}+\frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^2} \cos (2 k-1) x+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \sin n x, \quad(-\infty<x<+\infty ; x \neq \pm \pi, \pm 3 \pi, \cdots) .
\end{aligned}
$$

若函数 $f(x)$ 仅在 $[-\pi, \pi)$ 上有定义，并且满足收敛定理的条件. 我们也可以把 展开成傅里叶级数.一般这样处理：首先可将函数 $f(x)$ 作周期延拓，即设函数 $F(x)$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 内周期为 $2 \pi$ 的周期函数 (见图 8-5，实线为 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi)$ 上的 图形，虚线为延拓部分图形)，当 $x \in[-\pi, \pi)$ 时， $F(x)=f(x)$. 然后将函数 $F(x)$ 展开成傅里叶级数，取 $x \in[-\pi, \pi)$ ，则得到 $f(x)$ 的傅里叶级数.

![图片](/uploads/2023-01/image_202301014741058.png)

`例` 设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-x, & -\pi \leq x<0, \\ x, & 0 \leq x \leq \pi,\end{array}\right.$ 将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数.
解 将函数 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi)$ 外作周期延拓，使其满足收敛定理的条件.

$$
\begin{gathered}
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0-x \mathrm{~d} x+\frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \mathrm{~d} x=\pi, \\
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi}\left[-\int_{-\pi}^0 x \cos n x \mathrm{~d} x+\int_0^\pi x \cos n x \mathrm{~d} x\right] \\
=-\frac{1}{\pi}\left[\frac{x \sin n x}{n}+\frac{\cos n x}{n^2}\right]_{-\pi}^0+\frac{1}{\pi}\left[\frac{x \sin n x}{n}+\frac{\cos n x}{n^2}\right]_0^\pi=\frac{2}{n^2 \pi}\left[(-1)^n-1\right], \quad n=1,2, \cdots
\end{gathered}
$$

$$
\begin{gathered}
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi}\left[-\int_{-\pi}^0 x \sin n x \mathrm{~d} x+\int_0^\pi x \sin n x \mathrm{~d} x\right] \\
=-\frac{1}{\pi}\left[-\frac{x \cos n x}{n}+\frac{\sin n x}{n^2}\right]_{-\pi}^0+\frac{1}{\pi}\left[-\frac{x \cos n x}{n}+\frac{\sin n x}{n^2}\right]_0^\pi=0, \quad n=1,2, \cdots
\end{gathered}
$$

因此 $f(x)=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2 \pi}\left[(-1)^n-1\right] \cos n x, \quad x \in[-\pi, \pi]$.

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