最后更新: 2025-03-02 11:54 查看: 565 次反馈刷题

矩阵的定义

## 线性方程组
先看一个二元一次方程组：
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x+y=4 \\
x-2 y=-1
\end{array}\right.
$$

这是一个含有$2$个未知数，$2$个等式的方程，我们把他的系数提取出来，排成一个数表，就形成了一个矩阵，如下

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1   \\
1 & -2   \\
\end{array}\right)
$$

这样一个数表为称作**矩阵**。

如果把等号右边的常数项也加进去，如下面所示

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 &4 \\
1 & -2 & -1 \\
\end{array}\right)
$$

这样，也形成了一个矩阵被称为**增广矩阵**。

## 矩阵的定义
由 $m$ 个方程 $n$ 个末知量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 构成的线性方程组可以表示为:

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\
\cdots \cdots \cdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m,
\end{array}\right. ...(1)
$$

把他们的系数提取出来，形成一个 $m$ 行 $n+1$ 列的数表

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_m
\end{array}\right)
$$

#### 定义
**定义1**  $m \times n$ 个数 $a_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right)
$$

称为一个 $m \times n$ 矩阵，简记为 $\left(a_{i j}\right)$ ，也记为 $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$.
数 $a_{i j}$ 位于矩阵 $\left(a_{i j}\right)$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列，称为矩阵的 $(i, j)$ 元素，
其中 $i$ 称为元素 $a_{i j}$ 的行标， $j$ 称为元素 $a_{i j}$ 的列标.
一般地，常用英文大写字母 $A, B, \cdots$ 或字母 $\alpha, \beta, \gamma, \cdots$ 表示矩阵.

元素是实数的矩阵称为**实矩阵**，元素是复数的矩阵称为**复矩阵**.
本书除特别指明外，都是指实矩阵.

有了矩阵，可以简化方程的写法，定义方程变量为$X$即
$$
X=\left(\begin{array}{cccc}
x_{1}   \\
x_{2}  \\
\vdots   \\
x_{n}  
\end{array}\right)
$$

定义方程等式右边为$B$，写成矩阵是
$$
B=\left(\begin{array}{cccc}
b_{1}   \\
b_{2}  \\
\vdots   \\
b_{n}  
\end{array}\right)
$$

则上面方程可以写成(这里用到了矩阵乘法，详见后面介绍)
$$
\boldsymbol{AX=B}
$$

>还记得初中学的代数方程吗？矩阵$AX=B$的这种写法和初中学过的$ax=b$写法完全一致,从外形看，仅仅把字母从小写变成大写就完成了代数乘法到矩阵乘法的转变，因此非常方便记忆。

为什么我们不定义：
$X=\{x_{1} ,x_{2},...,x_{n}\}$ 和 $B=\{b_{1} ,b_{2},...,b_{n}\}$ 
因为这样无法得到$AX=B$，这和我们初中学的$ax=b$写法不一致，因此才定义$X,B$为列形式。当然这也导致了后面研究向量都以“列”向量为基准。

### 方阵
如果矩阵中$m=n$,即矩阵的行数等于列数，则称为方阵（正方形矩阵的简称），如果$m \ne n$ 则成为**长方阵**。
方阵在矩阵研究中占据极其重要的位置。 因此定义：含有 $n$ 行及 $n$ 列的矩阵称为 $n$ 阶方阵 (亦称为 $n$ 阶矩阵)。

若 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶方阵, 则元素 $a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{n n}$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的**主对角线**. 若一个方阵除了主对角线上的元素外其余元素都等于零, 就称之为**对角阵**. 对角阵的形状为

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)
$$

上述对角阵可简记为 $\operatorname{diag}\left\{a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{n n}\right\}$. 若进一步有 $a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{n n}=1$, 则称这个矩阵为**单位阵**. $n$ 阶单位阵通常记为 $\boldsymbol{I}_n$ 或者$\boldsymbol{E}_n$ 表示，即:

$$
\boldsymbol{I}_n=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right)
$$

一个 $n$ 阶方阵, 如果它的主对角线以下的元素都等于零, 即它具有下列形状:

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)
$$
则称 $\boldsymbol{A}$ 为上三角阵. 同样地, 若 $\boldsymbol{A}$ 的主对角线上面的元素全为零, 则称 $\boldsymbol{A}$ 为下三角

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)
$$

## 矩阵和行列式的关系
从定义上可以看到矩阵就是“表格”, 而行列式是一个“数”，这是计算上最大的区别。矩阵是$m \times n$ 而行列式是 $ n \times n$，这意味着大部分矩阵和行列式是没有关系的，但是当矩阵的$m=n$时，即矩阵是方阵时，矩阵和行列式会产生联系。

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵, 则我们用 $|\boldsymbol{A}|$ 或 $\operatorname{det} \boldsymbol{A}$ 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式. 注意对长方阵而言, 谈论其行列式显然没有意义.

在上面矩阵的定义里，我们给出的普通的方程，但是更多时候，是含有$n$个未知量$n$个等式的方程，例如

$\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-z=3 \\ x-2 y+5 z=9 \\ 3 x-y-z=0\end{array}\right.$

写出他的系数矩阵

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 5 \\
3 & -1 &  1
\end{array}\right)
$$

$$
X=\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)
$$
,

$$
B=\left(\begin{array}{c}
3 \\
9 \\
0
\end{array}\right)
$$

仿照初中$ax=b$得记忆法，则上面方程就可以写成
$$
 \left(\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 5 \\
3 & -1 &  1
\end{array}\right)

\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
3 \\
9 \\
0
\end{array}\right)
$$

而他的行列式是

$$
\boldsymbol{D}=\left|\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 5 \\
3 & -1 &  1
\end{array}\right| 
$$

在行列式里曾经讲过，[三阶行列式](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=813)的值可以看成向量张成的三维空间，而矩阵$A$，如果从向量的角度看，可以看成这个空间里的3个向量，即矩阵A看成3个列向量为
$\vec{OA}=(2,1,3)$
$\vec{OB}=(3,-2,-1)$
$\vec{OC}=(-1,5,1)$

![图片](/uploads/2024-09/8efb60.jpg){width=300px}

因此，通过行列式就可以判断方程有没有解。如果$D=0$，意味着这个空间坍塌为一个点，自然无法“存放”向量，因此方程也就无解。

## 一些概念
（1）$1 \times 1$ 的矩阵 $A=(a)$ 就记为 $\boldsymbol{A}=a$.

（2）$1 \times n$ 的矩阵 $\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ 称为行矩阵，也称为 $n$ 维行向量.

（3）$ n \times 1$ 的矩阵 $\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 称为列矩阵，也称为 $n$ 维列向量.

（4）所有元素都是零的 $m \times n$ 矩阵称为零矩阵，记为 $O_{m \times n}$ ，或简记为 $\boldsymbol{O}$.

（5）$m \times n$ 矩阵，如果$m=n$, 即 $\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right) \quad$ 称为 $n$ 阶方阵.
元素 $a_{i i}(i=1,2, \cdots, n)$ 所在的位置称为 $n$ 阶方阵的主对角线.

（6）一个 $n$ 阶方阵主对角线上方的元素全为零， 即

$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right),
$$

称该 $n$ 阶方阵为**下三角矩阵**，其元素特点是: 当 $i<j$ 时， $a_{i j}=0$.
类似地，有**上三角矩阵** ，即
$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right),
$$

其元素特点是: 当 $i>j$ 时， $a_{i j}=0$.

（7）$n$ 阶方阵

$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_2 & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_n
\end{array}\right)
$$

称为 $n$ 阶对角矩阵，简称对角阵，记为 $\operatorname{diag}\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$.

（8）如果 $n$ 阶对角矩阵 $\operatorname{diag}\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ 对角线上的元素全相等， 即 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ ，则称其为数量矩阵.

（9）当 $a_1=a_2=\cdots=a_n=1$ 时，这个数量矩阵就称为 $n$ 阶单位矩阵，简称为单位阵， 记为 $E_n$ 或 $E$ 即

$$
E=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\ldots & \cdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right) .
$$

## 矩阵的相等
**定义2** 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为**同型矩阵**. 如果两个同型矩阵
$\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $B=\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$ 中所有对应位置的元素都相等， 即 $a_{i j}=b_{i j}$ ，其中 $i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n$ ，则称矩阵 $A$ 和 $B$ 相等，记为 $A=B$.

两个零矩阵并不相等，比如$0_{2\times2} \neq  0_{3\times 3}$

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