最后更新: 2025-04-01 09:50 查看: 345 次反馈刷题

分块矩阵的线性运算

## 分块矩阵的运算

**(1) 分块矩阵加 (减) 运算:**
设 $A 、 B$ 都是 $m \times n$ 矩阵，对两个矩阵的行和列采用相同的分块方式，不妨设

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{t r} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_t \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{t 1} & A_{t 2} & \cdots & A_{t t}
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cccc}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1 t} \\
B_{22} & B_{22} & \cdots & B_{2 t} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
B_{t 1} & B_{t 2} & \cdots & B_{B t}
\end{array}\right),
$$

其中 $A_{i j}$ 和 $B_{i j}$ 的行数相同、列数相同，则有

$$
A \pm B=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} \pm B_{11} & A_{12} \pm B_{12} & \cdots & A_{t t} \pm B_{1 t} \\
A_{21} \pm B_{21} & A_{22} \pm B_{22} & \cdots & A_{2 t} \pm B_{2 t} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{s 1} \pm B_{s 1} & A_{s 2} \pm B_{s 2} & \cdots & A_{s t} \pm B_{s t}
\end{array}\right) .
$$

**例1** 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 3\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{cccc}-2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & -1\end{array}\right)$ 的和 $A+B$.
解 将矩阵 $A$ 与 $B$ 写成分块矩阵如下:

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{c:ccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 & 0 \\
\hdashline 1 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{o} \\
\boldsymbol{A}_2 & \boldsymbol{A}_3
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{c:ccc}
-2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 1 \\
\hdashline & 1 & -4 & 2 \\
\hdashline 2 & -1 & 0 & -3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{B}_1 & \boldsymbol{B}_2 \\
\boldsymbol{B}_3 & \boldsymbol{B}_4
\end{array}\right)
$$

F是, $\quad A+B=\left(\begin{array}{ll}A_1 & O \\ A_2 & A_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A_1+B_1 & O+B_2 \\ A_2+B_3 & A_3+B_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A_1+B_1 & B_2 \\ A_2+B_3 & A_3+B_4\end{array}\right)$.
而
所以

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{B}_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
3
\end{array}\right), \\
\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{c|ccc}
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & -4 & 2 \\
\hline 3 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$

$$
\boldsymbol{A}_2+\boldsymbol{B}_3=1+2=3, \quad \boldsymbol{A}_3+\boldsymbol{B}_4=(1,0,3)+(-1,0,-3)=(0,0,0),
$$

**(2) 分块矩阵的数乘运算:**
矩阵的分块方式没有特别规定，对任意的分块 $A=\left(\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_t \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{t 1} & A_{t 2} & \cdots & A_{t i}\end{array}\right)$, 都有

$$
k A=\left(\begin{array}{cccc}
k A_{11} & k A_{12} & \ldots & k A_1 \\
k A_{21} & k A_{22} & \ldots & k A_{2 t} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
k A_{11} & k A_{12} & \ldots & k A_{t u}
\end{array}\right) .
$$

在矩阵的数乘运算中，对矩阵的分块可以根据矩阵本身的特点而定.

**(3) 分块矩阵的乘法:**
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times s$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $s \times n$ 矩阵，要求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列分块方式与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行分块方式 保持一致，而对矩阵 $A$ 的行分块方式及矩阵 $B$ 的列分块方式没有任何要求和限制.
不妨设
其中 $A_1, A_{i 2}, \cdots, A_{i k}$ 的列数分别等于 $B_{1 j}, B_{2 j}, \cdots, B_{i j}$ 的行数， 则
其中

$$
C_{i j}=\sum_{t=1}^k A_{i t} B_{i j}=A_{i t} B_{1 j}+A_{i 2} B_{2 j}+\cdots+A_{i k} B_{i j}
$$

例 2 设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0\end{array}\right)$, 求 $A B$.
解 把矩阵 $A$ 与 $B$ 如下分块:

$$
\begin{aligned}
& A=\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 1 \\
\hline-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{E} \\
-\boldsymbol{E} & \boldsymbol{o}
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 2 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{o} \\
\boldsymbol{E} & \boldsymbol{B}_{22}
\end{array}\right) . \\
& A B=\left(\begin{array}{cc}
A_{11} & E \\
-E & O
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
B_{11} & o \\
E & B_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A_1 B_{11}+E^2 & A_1 \boldsymbol{O}+E B_2 \\
-E B_{11}+O E & -E O+O B_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A_{11} B_{11}+E & B_{22} \\
-B_{11} & O
\end{array}\right) . \\
&
\end{aligned}
$$

而

$$
A_{11} B_{11}+E=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-2 & 1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-3 & -1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
2 & 2 \\
-3 & 0
\end{array}\right), \quad-B_{11}=\left(\begin{array}{cc}
-1 & -2 \\
2 & -1
\end{array}\right)
$$

所以

$$
A B=\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 2 & 0 & -1 \\
-3 & 0 & -1 & 0 \\
\hline-1 & -2 & 0 & 0 \\
2 & -1 & 0 & 0
\end{array}\right) .
$$

**(4) 分块矩阵的转置:**

$$ 
A^T = \begin{pmatrix}
A_{11}^T & A_{21}^T & \cdots & A_{r1}^T \\
A_{12}^T & A_{22}^T & \cdots & A_{r2}^T \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1s}^T & A_{2s}^T & \cdots & A_{rs}^T
\end{pmatrix}
$$
即子块矩阵转置，同时子块位置也关于主对角线对称交换。

(5) 分块对角阵
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若 $A$ 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，且这些非零子 块都是方阵，而其余子块都是零矩阵，

$$
\text { 即 } A=\left(\begin{array}{cccc}
A_1 & o & \cdots & o \\
o & A_2 & \cdots & o \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
o & o & \cdots & A_t
\end{array}\right) \text {, }
$$

其中 $A_i(i=1,2, \cdots, t)$ 都是方阵， 这样的分块阵称为分块对角阵.

`例`设 $e_i=(0, \cdots, 0,1,0, \cdots, 0)^{\mathrm{T}}$ 为第 $i$ 个分量为 1 而其余元素全为 0 的列向量，则 $n$ 阶单位矩阵可以分块为 $E_n=\left(e_1, e_2, \cdots, e_n\right)$. 将矩阵 $A$ 按列分块为 $A=\left(A_1, A_2, \cdots, A_n\right)$ ，其中 $A_k$ 为矩阵 $A$ 的第 $k$ 个列向量，则有

$$
\left(\begin{array}{lll}
A_1, & A_2, \cdots, & A_n
\end{array}\right)=A=A E=A\left(e_1, e_2, \cdots, e_n\right)=\left(\begin{array}{lll}
A e_1, & A e_2, \cdots, & A e_n
\end{array}\right),
$$

从而有

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{e}_k=\boldsymbol{A}_k(k=1,2, \cdots, n),
$$

即 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{e}_k$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 $k$ 列.
同理， $\boldsymbol{e}_k^{\mathrm{T}} A$ 是矩阵 $A$ 的第 $k$ 行. 易知 $\boldsymbol{e}_k^{\mathrm{T}} A e_l=a_{k l}$ 是 $A$ 的 $(k, l)$ 元素.

`例`设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，如果对任意的 $n \times 1$ 矩阵 $\alpha$ 都有 $A \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{O}$ ，证明 $A=0$.
证明 由矩阵 $\boldsymbol{\alpha}$ 的任意性，可选取 $\boldsymbol{\alpha}$ 分别等于 $e_j(j=1,2, \cdots, n)$ ，根据例 3 则有

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{e}_j=\boldsymbol{A}_j=\boldsymbol{O}(j=1,2, \cdots, n),
$$

所以 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$.

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