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线性代数
第二篇 矩阵
求解线性方程组
日期:
2023-10-01 11:28
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求解线性方程组
对于 $n$ 元线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots+a_1 x_1 x_1=b_1, \\ a_2 a_1 a_2+\cdots+\cdots+a_2 x_n=b_2, \\ a_m x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m, x_n}=b_m,\end{array}\right.$ ， 如果 $b_i(i=1,2, \cdots, m)$ 不全为零，则该线性方程组称为 $n$ 元非齐次线性方程组. 显然，齐次线性方程组一定有解 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ ，这个解称为齐次线性方程组的零解. 如果齐次线性方程组有唯一解，则这个唯一解必定是零解. 当齐次线性方程组有无穷多解时，我们称齐次线性方程组有非零解. 解$n$元非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \cdots+\cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m \end{array}\right. $$ 的具体步骤为 01写出线性方程组的增广矩阵 $\tilde{A}$; 02 对 $\tilde{A}$ 实施初等行变换，化为行最简形矩阵 $\tilde{R}$; 03 写出以 $\tilde{R}$ 为增广矩阵的线性方程组； 04 以首元为系数的末知量作为固定末知量，留在等号的左边，其余的末知量作 为自由末知量，移到等号右边，并令自由末知量为任意常数，从而求得线性 方程组的解. 例4 解方程组 $$ \left\{\begin{array}{r} x_1-x_2+2 x_3-2 x_4=1, \\ x_2+x_3+2 x_4=-1, \\ 2 x_1-x_2+5 x_3-2 x_4=1 \\ x_1-x_2-4 x_4=3 . \end{array}\right. $$ 对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换， $$ \tilde{\boldsymbol{A}}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 5 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & -4 & 3 \end{array}\right) \stackrel{r_3+(-2)_1}{\stackrel{r_4+(-1) r_1}{\longrightarrow}}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & 2 \end{array}\right) \stackrel{ r_3+(-1) r_2} {\stackrel{ -\frac{1}{2} r_4 }{\longrightarrow}}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right) $$ $$ \stackrel{r_3 \leftrightarrow r_4}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \stackrel{r_2+(-1)_{r_3}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 0 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \stackrel{r_1+(-2) r_3}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$  例5 解方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2-2 x_3=1, \\ 3 x_1+8 x_2+x_3=-2, \\ 7 x_1+2 x_2-21 x_3=13 . \end{array}\right. $$ 解：对方程进行增广矩阵变换得到  从而原方程等价于 $$ =\left\{\begin{aligned} x_1+x_2-2 x_3 & =1 \\ 5 x_2+7 x_3 & =-5 \\ 0 & =1 \end{aligned}\right. $$ 最后一个方程矛盾，所以原方程无解。 对于$n$元非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \cdots+\cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m, \end{array}\right. $$ 我们有下列命题 01该线性方程组有解的充分必要条件是首元不出现在 $R$ 的最后一列; 02 该线性方程组有唯一解的充分必要条件是首元不出现在 $R$ 的最后一列，且首元的个数等 于末知量的个数； 03该线性方程组有无穷多解的充分必要条件是首元不出现在 $R$ 的最后一列，且首元的个数 小于末知量的个数. 证明 只需证明条件的充分性，因为(1)、(2)、(3)的必要性可分别由(2)、(3)，(1)、(3)和(1)、 (2)的充分性利用反证法得到. 设 $R$ 为: $$ \widetilde{\boldsymbol{R}}=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{11} & \cdots & c_{1, n-r} & d_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & c_{21} & \cdots & c_{2, n-r} & d_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_{r 1} & \cdots & c_{r, n-r} & d_r \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & d_{r+1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right) . $$ (1) 如果首元出现在最后一列，即 $ d_{r+1}=1$ ，于是 $ \tilde{R} $ 的第 $ r $ 行对应矛盾方程 $ 0=1 $ ，从而线性方程组无解. (2) 当 $d_{r+1}=0$ (或 $d_{r+1}$ 不出现)，且首元的个数等于末知量的个数时， $\tilde{R}$ 变为: $$ \widetilde{\boldsymbol{R}}=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & d_1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & d_n \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & & 0 & 0 \end{array}\right), $$ $\tilde{\boldsymbol{R}}$ 对应的方程组为: $\left\{\begin{array}{l}x_1=d_1, \\ x_2=d_2, \\ \cdots \cdots \\ x_n=d_n\end{array}\right.$, 从而线性方程组有唯一解. (3) 当 $ d_{r+1}=0 $ 或 $ d_{r+1}$ 不出现, 且首元的个数小于末知量的个数时，$ \tilde{R} $ 变为: $$ \tilde{\boldsymbol{R}}=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{11} & \cdots & c_{1, n-r} & d_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & c_{21} & \cdots & c_{2, n-r} & d_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_{r 1} & \cdots & c_{r, n-r} & d_r \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right), $$ $ \tilde{R} $ 变为 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1=-c_{11} x_{r+1}-c_{12} x_{r+2}-c_{1, n-r} x_n+d_1, \\ x_2=-c_{21} x_{r+1}-c_{22} x_{r+2}-c_{2, n-r} x_n+d_2, \\ \cdots \cdots \cdots \\ x_r=-c_{r 1} x_{r+1}-c_{r 2} x_{r+2}-c_{r, n-r} x_n+d_r, \end{array}\right. $$ 令自由末知数 $x_{r+1}=k_1, x_{r+2}=k_2, \cdots, x_n=k_{n-r}$ ，即得线性方程组的含有 $n-r$ 个参数的解 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1=-c_{11} k_1-c_{12} k_2-c_{1, n-r} k_{n-r}+d_1, \\ x_2=-c_{21} k_1-c_{22} k_2-c_{2, n-r} k_{n-r}+d_2, \\ \cdots \cdots \cdots \\ x_r=-c_{r 1} k_1-c_{r 2} k_2-c_{r, n-r} k_{n-r}+d_r, \\ x_{r+1}=k_1, \\ x_{r+2}=k_2, \\ \cdots \cdots \\ x_n=k_{n-r} . \end{array}\right. $$ 从而线性方程组有无穷多解.   
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