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第三篇 向量空间与线性方程组解
矩阵秩的求法
线性代数 Linear Algebra
日期:
2023-10-01 11:28
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矩阵秩的求法
三、矩阵秩的求法 矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩,即若 $A \sim B$ ,则 $R(A)=R(B)$. ![图片](/uploads/2023-01/image_20230102fdb012b.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_20230102fb25c84.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_20230102b2dcb44.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_202301021170442.png) 定理 3 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,即若 $\boldsymbol{A} \square \boldsymbol{B}$ ,则 $R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B})$. 已知矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩. 对矩阵 $A$ 实施初等列变换变为矩阵 $B$ , 相当于对矩阵 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 实施初等行变换变为矩阵 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ ,又知 $R(\boldsymbol{A})=R\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right) , R(\boldsymbol{B})=R\left(\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)$ , 所以对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 实施初等列变换变为矩阵 $\boldsymbol{B}$ ,仍旧有 $R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B})$. 因此,若 $\boldsymbol{A} \square \boldsymbol{B}$ ,则 $R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B})$. ![图片](/uploads/2023-01/image_202301026b4b8c5.png)
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