最后更新: 2025-01-04 16:46 查看: 444 次反馈刷题

矩阵秩的性质

## 矩阵秩的基本性质
### 性质1：初等行变换不改变矩阵的值。
矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩，即若 $A \sim B$ ，则 $R(A)=R(B)$.

证明 先证明矩阵 $A$ 通过一次初等行变换变为矩阵 $B$ ，有 $R( A )=R( B )$ ．
设矩阵 $A$ 的秩为 $r, ~ D$ 是矩阵 $A$ 中的 $r$ 阶非零子式，矩阵 $B$ 的秩为 $t$ ．
（1）若 $A \xrightarrow{r_i \leftrightarrow r_j} B$ ，
则在 $B$ 中总能找到与 $D$ 相对应的 $r$ 阶子式 $D_1, ~ D_1=D$ 或 $D_1=-D$ ，因此 $D_1 \neq 0$ ，从而 $t \geq r$，另一方面，若矩阵 $A$ 通过一次初等行变换变为矩阵 $B$ ，则矩阵 $B$ 通过一次初等行变换变为矩阵 $A$ ，同样的讨论可知 $r \geq t$ ，所以 $R( A )=r=t=R( B )$ ．

（2）若 $A \xrightarrow{k_i} B$ ，
则在 $B$ 中总能找到与 $D$ 相对应的 $r$ 阶子式 $D_1, ~ D_1=D$ 或 $D_1=k D$ ，因此 $D_1 \neq 0$ ，从而 $t \geq r$ ．

与（1）同样的讨论可知 $R( A )=R( B )$ ．

（3）若 $A \xrightarrow{r^r+b_j} B$ ，分两种情形讨论：
（i）如果非零子式 $D$ 不包含 $A$ 中的第 $i$ 行，则在 $B$ 中能找到 $r$ 阶子式 $D_1$ ，使得 $D_1=D$ ．
（ii）如果非零子式 $D$ 包含 $A$ 中的第 $i$ 行，
则在 $B$ 中能找到与 $D$ 相对应的阶子式 $D_1$ ，且 $D$ 的第 $i$ 行是两个数之和的形式，
按照行列式的拆分性质，$D_1$ 可以写成两个行列式之和，

$$
D_1=\left|\begin{array}{ccc}
\ldots & \cdots & \cdots \\
a_{i p_1}+k a_{j p_1} & \cdots & a_{i p_r}+k a_{j p_r} \\
\ldots & \cdots & \ldots
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
\cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i p_1} & \cdots & a_{i p_r} \\
\cdots & \cdots & \cdots
\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{ccc}
\cdots & \cdots & \cdots \\
a_{j p_1} & \cdots & a_{j p_r} \\
\cdots & \cdots & \cdots
\end{array}\right|=D+k D_2,
$$

如果非零子式 $D$ 包含 $A$ 中的第 $j$ 行，则 $D_2=0, ~ D_1=D \neq 0$ ．
如果非零子式 $D$ 不包含 $A$ 中的第 $j$ 行，则 $D_2$ 也是 $B$ 中的 $r$ 阶子式，
并且由 $D_1-k D_2=D \neq 0$ 知 $D_1$ 与 $D_2$ 不同时为零，所以在 $B$ 中定能找到非零的 $r$ 阶子式，
从而 $t \geq r$ ．

另一方面，由 $B \xrightarrow{r_i-k_j} A$ 以及同样的讨论可知 $r \geq t$ ，
所以 $R( A )=r=t=R( B )$ ．

### 性质2：初等有限次行变换不改变矩阵的值。
经过一次初等行变换不改变矩阵的秩，则经过有限次初等行变换也不改变矩阵的秩．

### 定理3 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，
即若 $A \sim B$ ，则 $R( A )=R( B )$ ．
已知矩阵的初等行变换不改变知阵的秩．对矩阵 $A$ 实施初等列变换变为矩阵 $B$ ，相当于对矩阵 $A ^{ T }$ 实施初等行变换变为矩阵 $B ^{ T }$ ，又知 $R( A )=R\left( A ^{ T }\right), R( B )=R\left( B ^{ T }\right)$ ，所以对矩阵 $A$ 实施初等列变换变为矩阵 $B$ ，仍旧有 $R( A )=R( B )$ ．

因此，若 $A \sim B$ ，则 $R( A )=R( B )$ ．

`例` 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}3 & 0 & -2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 & 6 & 0\end{array}\right)$ 的秩．

解：
$$
A =\left(\begin{array}{ccccc}
3 & 0 & -2 & -1 & 3 \\
1 & -1 & 3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
2 & -2 & 1 & 6 & 0
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 3 & 2 & 0 \\
3 & 0 & -2 & -1 & 3 \\
2 & -2 & 1 & 6 & 0
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 2 & 3 & -1 \\
0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\
0 & -2 & -1 & 8 & -2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 2 & 3 & -1 \\
0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
 
所以 $A$ 的秩 $R( A )=3$ ．

## 矩阵秩的性质总结
1．设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵。矩阵 $A$ 中任取 $r$ 行和 $r$ 列。元素按照原来次序排列构成的 $r$ 阶行列式。称为矩阵A的 $r$ 阶子式。矩阵 $A$ 共有 $C_m^r C_n^r $个$r$ 阶子式。若 $A$ 至少有一个$r$阶子式不为 0 。但所有的 $r+1$ 阶子式皆为 0 ，则称 $r$ 为矩阵 $A$ 的秩，记为 $r(A)=r$ 。
$A \rightarrow m \times n$ 矩阵 $\quad r(A) \leqslant m . \quad r(A) \leqslant n$.
即 $r(A) \leqslant \min \{m, n\}$ 。

①满阶矩阵。没 $A$ 为 $n$ 阶矩阵。若 $|A| \neq 0 . \quad r(A)=n$ ．
②降阶矩阵．若 $(A)=0 . \quad r(A)<n$ ．
③设 $\alpha=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 则 $r(\alpha) \leqslant 1$

若 $\alpha=0 . \quad r(\alpha)=0$
若 $\alpha \neq 0 . \quad r(\alpha)=1$ ．

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & -1 & 3 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 0 & 4
\end{array}\right) \xrightarrow[r_3-2 r_1]{\substack{r_2-r_1}}\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & -1 & 3 \\
0 & 1 & 2 & -2 \\
0 & 1 & 2 & -2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & -1 & 3 \\
0 & 1 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

注：①矩阵秩的本质为方程组约束条件的个数
②$r(A)=0 \Longleftrightarrow A=0$
③$r(A) \geqslant 1 \Leftrightarrow A \neq 0$
④$r(A) \geqslant 2 \Leftrightarrow A$ 至少两行不成比例。

性质：
（1）$r(A)=r\left(A^{\top}\right)=r\left(A^{\top} A\right)=r\left(A A^{\top}\right)$
 
（2）设 $A$ ．$B$ 为同型矩阵 $\gamma(A \pm B) \leq \gamma(A)+\gamma(B)$
$A+B . A-B$ 或 $r(A)+r(B)$

（3）设 $A$  $ m \times n$ 矩阵 $B$ 为 $n \times s$ 矩阵．$r(A B) \leq \min \{r(A) \cdot r(B)\}$或者 $\left\{\begin{array}{l}r(A B) \leqslant r(A) \\ r(A B) \leqslant r(B)\end{array}\right.$

（4）设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵．$B$ 为 $n \times s$ 矩阵．且 $A B=0$ 。

$$
\begin{gathered}
r(A)+r(B) \leqslant n \\
A B=0
\end{gathered}
$$

（5）设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵．$P \cdot Q$ 分别为 $m$ 及 $n$ 阶可逆矩阵．则。

$$
r(A)=r(P A)=r(A Q)=r(P A Q)
$$

（6）没 $A$ 是 $n$ 阶矩阵．则 $r\left(A^*\right)= \begin{cases}n, & r(A)=n \\ 1, & r(A)=n-1 \quad(n \geqslant 2) \\ 0, & r(A)<n-1\end{cases}$

（7）①设 $A, B$ 为别为 $m \times n, n \times s$ 矩阵．则．

$$
\max \{r(A) \cdot r(B)\} \leq r\binom{A}{B} \leq r(A)+r(B)
$$

或设 $A$ ．$B$ 分制为 $m \times n . m \times s$ 矩阵。则

$$
\max \{r (A) \cdot r(B)\} \leqslant r(A \vdots B) \leqslant r(A)+r(B)
$$

②
$$
  r\left(\begin{array}{ll}
A & 0 \\
0 & B
\end{array}\right)=r(A)+r(B)
$$

（8）设 $A$ 为 $n$ 所非雪矩阵．则 $r(A)=1$ 的充分必要杂件是存在非零何量 $\alpha$ ．$\beta$ ．使得 $A=\alpha \beta T$

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