日期: 2023-10-01 11:28 查看: 167 次编辑导出

正交向量组

定义 4 由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组.
例如， 向量组

$$
\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
3
\end{array}\right) \text { 与向量组 }\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \\
-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right)
$$

都是正交向量组.

定理 1
若 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是一个正交向量组，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关.
设有常数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ ，使

$$
\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0},
$$

以 $\boldsymbol{\alpha}_i^{\mathrm{T}}(i=1,2, \cdots, m)$ 左乘上式两端，当 $j \neq i$ 时， $\alpha_i^{\top} \boldsymbol{\alpha}_j=0$ ，从而有 $\lambda_i \boldsymbol{\alpha}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_i=0(i=1,2, \cdots, m)$,
因 $\boldsymbol{\alpha}_i \neq \mathbf{0}(i=1,2, \cdots, m)$ ，故 $\alpha_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_i \neq 0$ ，
于是必有 $\lambda_i=0(i=1,2, \cdots, m)$ ，所以向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关.

![图片](/uploads/2023-01/image_202301021b7a61a.png)
定义 5 设 $n$ 维向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 是向量空间 $V\left(V \subseteq \mathbf{R}^n\right)$ 的一个基，如果 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 两两正交， 且都是单位向量， 则称 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 是 $v$ 的一个规范正交基.
例如， $n$ 维单位坐标向量 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 就是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.
向量组

$$
\xi_1=\left(\begin{array}{l}
\frac{2}{3} \\
\frac{1}{3} \\
\frac{2}{3}
\end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{c}
-\frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} \\
\frac{1}{3}
\end{array}\right), \quad \xi_3=\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{3} \\
\frac{2}{3} \\
-\frac{2}{3}
\end{array}\right)
$$

就是 $\mathbf{R}^3$ 的一个规范正交基.
若 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 是 $V$ 的一个规范正交基， 那么 $V$ 中任一向量 $\beta$ 都能由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 线性表示， 设表示式为

$$
\boldsymbol{\beta}=\lambda \xi_1+\lambda_2 \xi_2+\cdots+\lambda_r \xi_r,
$$

用 $\xi_i^{\mathrm{T}}(i=1, \cdots, r)$ 左乘上式，有 $\xi_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\lambda_i \xi_i^{\mathrm{T}} \xi_i=\lambda_i(i=1, \cdots, r)$, 即 $\lambda_i=\xi_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\left[\xi_i, \boldsymbol{\beta}\right](i=1, \cdots, r)$.

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