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钟慢效应

孪生子佯谬：
设想一对年华正茂的孪生兄弟,哥哥告别弟弟作星际旅 游,归来时,哥哥仍是风度翩翩一少年,而迎接他的胞弟却是 白发苍苍一老翁了. 应了我国古代神话“天上方一日, 地上 已七年”的说法.  但是, 按照相对论, 运动是相对的, 从哥哥的角度, 弟弟在 做旅行, 从而得到一个相反的结果.  到底谁年轻?
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令 : $\tau=t_2^{\prime}-t_1^{\prime}$

时间膨胀公式

$$
\Delta t=\frac{\tau}{\sqrt{1-(v / c)^2}}
$$

在某一惯性系中同一地点先后发生两事件的时间间隔 $(\tau)$ 称为原时(或称固有时间).

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讨论:

- 原时是由静止在“当地”的同一只钟测量; “两地时”用校准的“同步钟”测量, 原时最短.
- 运动使钟变慢一一钟慢效应, 这是一种相对效应. 各惯性系都测得对它运动着的时钟变慢了.
- 若在相对事件发生地运动的参考系中, 该两事件必为异地事件, 需用两只钟测出其时间间隔 $\tau$.
- 时间膨胀是运动时空的一种属性, 与测量有关, 与运动物体的物理、化学、生物性质无关.
- 当速度远远小于 $c$ 时, 时间间隔相同.

例题. 半人马座 $\alpha$ 星是距离太阳系最近的恒星, 它距离地球 $4.3 \times 10^{16} \mathrm{~m}$ 。设有一宇宙飞船自地球飞到半人马 $\alpha$ 星, 若宇宙飞船相对地球的速度为 $0.999 \mathrm{c}$, 按地球上的时钟计算要用多少年时间? 如以飞船上的时钟计算, 所需时间又为多少年?

关键:哪个时间为原时? 地球系:非原时;飞船系:原时
解: 按地球上的时钟计算, 飞船飞到 $\alpha$ 星所需时间为

$$
\Delta t=\frac{S}{v}=\frac{4.3 \times 10^{16}}{0.999 \times 3 \times 10^8 \times 365 \times 24 \times 3600}=4.55 \text { 年 }
$$

若用飞船上的钟测量, 飞船飞到 $\alpha$ 星所需时间为

$$
\tau=\sqrt{1-(v / c)^2} \Delta t=\sqrt{1-0.999^2} \times 4.55=0.203 \text { 年 }
$$

正是时间膨胀效应使得在人的有生之年进行星际航行成为可能。

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