最后更新: 2025-12-29 17:02 查看: 196 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

序：拓扑学的直观认识

＂什么是拓扑学？＂这是许多初学者都会提出的问题．拓扑学是一种几何学，它是研究几何图形的．但是拓扑学所研究的并不是大家最熟悉的普通的几何性质，而是图形的一类特殊性质，即所谓 ＂拓扑性质＂。于是，要了解拓扑学就要知道什么是图形的拓扑性质。然而，尽管拓扑性质是图形的一种很基本的性质，它也具有很强的几何直观，却很难用简单通俗的语言来准确地描述。它的确切定义是用抽象的语言叙述的，这里还不能给出。下面介绍几个有趣的问题，它们涉及到的都是图形的拓扑性质，希望读者能从中得到关于拓扑性质的一些直观认识．

##  一笔画问题和七桥问题
一笔画是一个简单的数学游戏．平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？例如汉字＂日＂、 ＂中＂都是可以一笔写出来的，而＂田＂和＂目＂则不能一笔写成。

显然，通常的几何方法在一笔画问题上是没有用的，因为＂图形能不能一笔画成＂和图形中线段的长度、形状等几何概念没有关系，要紧的是线段的数目和它们之间的连接关系，也就是说一笔画问题的关键是图形的整体结构。我们可以随意地将图形变形，如拉伸、压缩或弯曲等，甚至可将一些线段搬家（但保持端点不动），只要图形的整体结构不改变，＂能不能一笔画出＂这个性质是不会改变的．例如图1 中的（a）和（b）都是＂日＂字的变形，都能一笔画出； （c），（d）和（e）都是＂田＂字的变形，都不能一笔画出。

著名的**七桥问题**对拓扑学的产生和发展曾起了一定的作用，实质上它是一个一笔画问题．七桥问题是这样的：流经哥尼斯堡的普雷格河的河湾处有两个小岛，七座桥连结了两岸和小岛（图2左图）．当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次．很长时间里没有人能做到．后来大数学家 Euler 研究了这个游戏．他用点代表陆地（两岸和岛），用连结各点的线代表桥，得到图2右图中的图形．于是上述游戏变成这个图形能不能一笔画成的问题了．

![图片](/uploads/2025-12/a3f516.jpg)

欧拉Euler 证明它是不能一笔画成的． 正是七桥问题和其他类似性质的问题，使 Euler 和他那个时代的其他数学家开始认识到：存在着某种新的几何性质，它们和欧氏几何中研究的几何性质完全不同。这种认识是拓扑学产生的背景。

![图片](/uploads/2025-12/6e2209.jpg)

##  地图着色问题
给地图着色时，要把相邻的国家（或区域）着上不同的颜色，以便容易地加以区分．那么绘图员至少要准备多少种颜色才能给任何地图着色？这个问题看起来简单，却出人意料地难以解决。图3中的地图虽只有四个区域，却是两两相邻的，因此它需用 4 种颜色着色。这个例子说明上述问题的答案应不小于 4.数学家明确提出这个问题不很久，证明了有 5种颜色是够用的．于是问题集中到＂ 4 种颜色够不够？＂上，就出现了著名的＂四色问题＂．它从1852年由F．Guthrie 提出后，直到本世纪七十年代才借助计算机得到肯定性的解答．

地图着色问题同一笔画问题一样，也具有＂拓扑＂特性：它与度量（区域的面积、边界线的长度等）和形状都没有关系，关键是区域的个数和它们的邻接关系；地图经过变形（缩放或作各种投影）所需颜色数不变。
 ![图片](/uploads/2025-12/eefd0b.jpg)

## Euler 多面体定理
这是立体几何中的一个有名的定理：凸多面体的面数 $f$ ，棱数 $l$ 和顶点数 $v$ 满足 Euler 公式

$$
f-l+v=2 .
$$

表面上看，似乎它和一笔画、地图着色问题不一样，凸多面体是平直图形，不能随意变形。但只要对 Euler 多面体定理稍加推广，就可看出它的＂拓扑＂特性了。

把多面体放进一个大球体内，使球心在多面体内部。于是，从球心作的中心投影把凸多面体的棱映射成球面上的曲线（实际上是大圆弧），顶点映成球面上的点。这些点和大圆弧构成球面上的一个图（网络） （图4），它把球面分割成 $f$ 块，有 $l$ 条枝（大圆弧）和 $v$ 个节点．

![图片](/uploads/2025-12/aee41b.jpg)
 
 一般地，球面上的图是由球面上有限个点（称为节点）和有限条曲线（称为枝）所构成的图形，它必须满足：
（1）每条枝的端点是两个不同节点；
（2）不同的枝不交叉，即不相交于内点；
（3）每条枝不自交．
Euler 定理可以推广为
定理 1 球面上一个连通的图的节点数 $v$ ，枝数 $l$ 以及它分割球面所成的面块数 $f$ 满足公式

$$
f-l+v=2 .
$$

这种推广了的 Euler 定理具有拓扑特性：一方面，当图在球面上变形时，$f, l$ 和 $v$ 这 3 个数不会变化；另一方面，当球面本身变形时（其上图也随着变形）$f, l$ 和 $v$ 也不会变化．球面可以变形为椭球面、葫芦形或其他各种形状的曲面，对这些曲面定理1照样成立．但有的曲面不能由球面变形而得到，例如环面．事实上定理1对环面不适用，相应的定理为

定理 2 环面上一个连通图若分割环面成一些简单面块（即没有洞的面块），则面块数 $f$ ，图的枝数 $l$ 和节点数 $v$ 满足公式

$$
f-l+v=0 .
$$

对于更复杂一些的曲面，$f-l+v$ 是个负数．以上的事实说明整数 $f-l+v$ 与曲面上（适合条件的）图的选择无关，完全由曲面本身决定．这个数被称为曲面的 Euler 数，它反映出曲面的一种几何性质，当曲面被变形时，它是不会改变的。

以上几个问题显示出几何图形的一类特别的几何性质，它们涉及到图形在整体结构上的特性，这就是＂拓扑性质＂．显然，它们与几何图形的大小、形状，以及所含线段的曲直等等都无关，也就不能用普通的几何方法来处理，需要有一种新的几何学来研究它们，这个新学科就是拓扑学（希文Topology的译音）．也有人形象地称它为橡皮几何学，因为它研究的性质在图形作弹性形变时是不会改变的．
现在我们对拓扑性质作进一步的分析。如前所述，既然拓扑性质体现的是图形整体结构上的特性，可以随意地把图形作变形（如挤压、拉伸或扭曲等等），只要不把它撕裂，不发生粘连，从而不破坏其整体结构，拓扑性质将保持不变。把上述变形称为图形的＂拓扑变换＂，那么拓扑性质就是几何图形在作拓扑变换时保持不变的性质。拓扑变换可用集合与映射的语言给

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