最后更新: 2026-02-18 07:45 查看: 253 次纠错评论(0) 课件开VIP

引言：拓扑学的直观认识

## 拓扑学的直观认识
“什么是拓扑学？” 这是许多初学者都会提出的问题．拓扑学是一种几何学，它是研究几何图形的．但是拓扑学所研究的并不是大家最熟悉的普通的几何性质，而是图形的一类特殊性质，即所谓 ＂拓扑性质＂。于是，要了解拓扑学就要知道什么是图形的拓扑性质。然而，尽管拓扑性质是图形的一种很基本的性质，它也具有很强的几何直观，却很难用简单通俗的语言来准确地描述。它的确切定义是用抽象的语言叙述的，这里还不能给出。下面介绍几个有趣的问题，它们涉及到的都是图形的拓扑性质，希望读者能从中得到关于拓扑性质的一些直观认识．

##  一笔画问题和七桥问题
一笔画是一个简单的数学游戏．平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？例如汉字＂日＂、 ＂中＂都是可以一笔写出来的，而＂田＂和＂目＂则不能一笔写成。

显然，通常的几何方法在一笔画问题上是没有用的，因为＂图形能不能一笔画成＂和图形中线段的长度、形状等几何概念没有关系，要紧的是线段的数目和它们之间的连接关系，也就是说一笔画问题的关键是图形的整体结构。我们可以随意地将图形变形，如拉伸、压缩或弯曲等，甚至可将一些线段搬家（但保持端点不动），只要图形的整体结构不改变，＂能不能一笔画出＂这个性质是不会改变的．例如图1 中的（a）和（b）都是＂日＂字的变形，都能一笔画出； （c），（d）和（e）都是＂田＂字的变形，都不能一笔画出。

著名的**七桥问题**对拓扑学的产生和发展曾起了一定的作用，实质上它是一个一笔画问题．七桥问题是这样的：流经哥尼斯堡的普雷格河的河湾处有两个小岛，七座桥连结了两岸和小岛（图2左图）．当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次．很长时间里没有人能做到．后来大数学家 Euler 研究了这个游戏．他用点代表陆地（两岸和岛），用连结各点的线代表桥，得到图2右图中的图形．于是上述游戏变成这个图形能不能一笔画成的问题了．

![图片](/uploads/2025-12/a3f516.jpg)

欧拉Euler 证明它是不能一笔画成的． 正是七桥问题和其他类似性质的问题，使 Euler 和他那个时代的其他数学家开始认识到：存在着某种新的几何性质，它们和欧氏几何中研究的几何性质完全不同。这种认识是拓扑学产生的背景。

![图片](/uploads/2025-12/6e2209.jpg)

##  地图着色问题
给地图着色时，要把相邻的国家（或区域）着上不同的颜色，以便容易地加以区分．那么绘图员至少要准备多少种颜色才能给任何地图着色？这个问题看起来简单，却出人意料地难以解决。图3中的地图虽只有四个区域，却是两两相邻的，因此它需用 4 种颜色着色。这个例子说明上述问题的答案应不小于 4.数学家明确提出这个问题不很久，证明了有 5种颜色是够用的．于是问题集中到＂ 4 种颜色够不够？＂上，就出现了著名的＂四色问题＂．它从1852年由F．Guthrie 提出后，直到本世纪七十年代才借助计算机得到肯定性的解答．

地图着色问题同一笔画问题一样，也具有＂拓扑＂特性：它与度量（区域的面积、边界线的长度等）和形状都没有关系，关键是区域的个数和它们的邻接关系；地图经过变形（缩放或作各种投影）所需颜色数不变。
 ![图片](/uploads/2025-12/eefd0b.jpg)

## Euler 多面体定理
这是立体几何中的一个有名的定理：凸多面体的面数 $f$ ，棱数 $l$ 和顶点数 $v$ 满足 Euler 公式

$$
f-l+v=2 .
$$

表面上看，似乎它和一笔画、地图着色问题不一样，凸多面体是平直图形，不能随意变形。但只要对 Euler 多面体定理稍加推广，就可看出它的＂拓扑＂特性了。

把多面体放进一个大球体内，使球心在多面体内部。于是，从球心作的中心投影把凸多面体的棱映射成球面上的曲线（实际上是大圆弧），顶点映成球面上的点。这些点和大圆弧构成球面上的一个图（网络） （图4），它把球面分割成 $f$ 块，有 $l$ 条枝（大圆弧）和 $v$ 个节点．

![图片](/uploads/2025-12/aee41b.jpg)
 
 一般地，球面上的图是由球面上有限个点（称为节点）和有限条曲线（称为枝）所构成的图形，它必须满足：
（1）每条枝的端点是两个不同节点；
（2）不同的枝不交叉，即不相交于内点；
（3）每条枝不自交．
Euler 定理可以推广为

**定理1** 球面上一个连通的图的节点数 $v$ ，枝数 $l$ 以及它分割球面所成的面块数 $f$ 满足公式

$$
f-l+v=2 .
$$

这种推广了的 Euler 定理具有拓扑特性：一方面，当图在球面上变形时，$f, l$ 和 $v$ 这 3 个数不会变化；另一方面，当球面本身变形时（其上图也随着变形）$f, l$ 和 $v$ 也不会变化．球面可以变形为椭球面、葫芦形或其他各种形状的曲面，对这些曲面定理1照样成立．但有的曲面不能由球面变形而得到，例如环面．事实上定理1对环面不适用，相应的定理为

**定理2** 环面上一个连通图若分割环面成一些简单面块（即没有洞的面块），则面块数 $f$ ，图的枝数 $l$ 和节点数 $v$ 满足公式

$$
f-l+v=0 .
$$

对于更复杂一些的曲面，$f-l+v$ 是个负数．以上的事实说明整数 $f-l+v$ 与曲面上（适合条件的）图的选择无关，完全由曲面本身决定．这个数被称为曲面的 **Euler数**，它反映出曲面的一种几何性质，当曲面被变形时，它是不会改变的。

以上几个问题显示出几何图形的一类特别的几何性质，它们涉及到图形在整体结构上的特性，这就是＂拓扑性质＂．显然，它们与几何图形的大小、形状，以及所含线段的曲直等等都无关，也就不能用普通的几何方法来处理，需要有一种新的几何学来研究它们，这个新学科就是**拓扑学**（希文Topology的译音）．也有人形象地称它为**橡皮几何学**，因为它研究的性质在图形作弹性形变时是不会改变的．

现在我们对拓扑性质作进一步的分析。如前所述，既然拓扑性质体现的是图形整体结构上的特性，可以随意地把图形作变形（如挤压、拉伸或扭曲等等），只要不把它撕裂，不发生粘连，从而不破坏其整体结构，拓扑性质将保持不变。把上述变形称为图形的＂拓扑变换＂，那么拓扑性质就是几何图形在作拓扑变换时保持不变的性质。拓扑变换可用集合与映射的语言给出确切的描述。把图形 $M$ 变形为 $M^{\prime}$ ，就是给出 $M$ 到 $M^{\prime}$（都看作点集）的一个一一对应 （因而不出现重叠现象，并不产生新点）$f: M \rightarrow M^{\prime}$ ，并且 $f$ 连续 （表示不撕裂），$f^{-1}: M^{\prime} \rightarrow M$ 也连续（表示不粘连）。这里所说的连续就是分析学中的连续概念，可用距离概念刻画．简单地说：从图形 $M$ 到 $M^{\prime}$ 的一个一一对应 $f$ ，如果 $f$ 与 $f^{-1}$ 都是连续的，就称 $f$为从 $M$ 到 $M^{\prime}$ 的一个**拓扑变换**，并称 $M$ 与 $M^{\prime}$ 是**同胚**的．于是，拓扑性质也就是同胚的图形所共同具有的几何性质。拓扑学中往往对同胚的图形不加区别，因为它们的拓扑性质是一样的．

上面从拓扑变换或同胚概念来描述拓扑性质．反过来拓扑性质又是研究图形同胚问题的一个有力武器．判断两个图形是否同胚，这自然是拓扑学的一个基本问题。如果能构造从 $M$ 到 $M^{\prime}$ 的拓扑变换，当然 $M$ 与 $M^{\prime}$ 同胚，可是当经过努力而构造不出拓扑变换时，我们并不能由此认定 $M$ 与 $M^{\prime}$ 不同胚。断定不同胚的有效途径是比较它们的拓扑性质，如果它们有不相同的拓扑性质，则它们一定不同胚。例如日字形和田字形不同胚，因为前者能一笔写出，后者不能。又如球面与环面的 Euler 数不相等，因此它们不同胚。因此，寻找和研究图形的各种各样的拓扑性质是拓扑学的基本的研究课题．

规定拓扑变换时，映射的连续性是关键概念，因而它也是整个拓扑学的基本概念．也可以说拓扑学是研究连续现象的数学分支．连续性也是分析学的最基本的概念，因而拓扑学和分析学有着十分密切的关系。拓扑学的概念、结果和方法广泛地应用到分析学的各个领域中。特别是分析学中只和连续概念相关（而与可微性无关）的那些问题本质上都是拓扑问题．著名的 **Brouwer不动点定理**就是其中的一个例子．把 $n$ 维欧氏空间 $\boldsymbol{E}^n$ 中的子集

$$
D^n:=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \mid \sum_{i=1}^n x_i^2 \leqslant 1\right\}
$$

称为 $n$ **维单位球体**．Brouwer 定理说：$D^n$ 到自身的连续映射 $f: D^n \rightarrow D^n$ 一定有不动点，即存在点 $x \in D^n$ ，使得 $f(x)=x$ 。当 $n=1$ 时，不难用闭区间上连续函数的性质证明此定理（请读者自己证明）。当 $n \geqslant 2$ 时，就不容易了．由于定理中 $f$ 只是连续的，因此分析学中与微分有关的工具都不能直接用上．本书中将用基本群和同调群作为工具给出它的证明．

另一个例子是 Jordan 曲线定理。简略地讲，该定理说平面（或球面）被它上面的一条简单闭曲线分割为两部分．这是一个应用广泛的著名定理，直观上容易接受，仿佛是不证自明的．但仔细想想，会发现它并不简单。首先定理怎样用严谨的数学语言叙述？为此必须用到拓扑学的术语，如简单闭曲线就是与圆周同胚的图形，它在几何上可以是相当复杂的；所谓＂被分割为两部分＂，则要用拓扑概念＂连通＂来严格叙述．定理不但需要证明，并且还不是三言两语所能完成的．我们在本书的第四章中将以基本群为工具给出它的一个证明．

随着学习的深入，读者还将见到许多有趣的应用拓扑学解决分析学问题的例子．拓扑学与微分几何、动力系统等学科也都有着十分密切的联系．

拓扑学是一门年青而富有生命力的学科。它萌发于17、18世纪，但到 19 世纪末才开始得到发展。本世纪以来，拓扑学是数学中发展最迅猛，研究成果最丰富的研究领域，成为十分重要的数学基础学科。拓扑学有多个研究方向，早期分为一般拓扑学和代数拓扑学，后来又出现了微分拓扑学和低维流形等研究方向。本书是代数拓扑学的入门教材，重点是介绍代数拓扑学中最简单的内容和一些基础知识．但我们也需要介绍拓扑空间和连续映射等最基础的

拓扑学概念．如前所述，拓扑学是用抽象的语言和公理化的方式来阐述其概念的．特别是广泛使用集合论的语言．我们希望读者先要有较好的有关集合论的基础知识．下面择要介绍本书中最常用的有关集合与映射的概念和性质，既为学习正文作准备，也是为了统一术语和符号．

### 1．集合的运算
常用记号
设 $X$ 是非空集合，记 $2^X$ 是 $X$ 的全体子集（包括 $X$ 及空集 $\varnothing$ ）的集合，称为 $X$ 的**幂集**．

一点 $x$ 构成的集合记作 $\{x\}$ 。
$x \in A$ 表示 $x$ 是集合 $A$ 中的一个元素。
$x \bar{\in} A$（或 $x \notin A$ ）表示 $x$ 不是集合 $A$ 的元素．
$A \subset B$ 表示 $A$ 包含于 $B$（含 $A=B$ 的情形）。
$A \not \subset B$ 表示 $A$ 不包含于 $B$ ，即 $A$ 中有不属于 $B$ 的元素．
现在列出 $2^X$ 中的几种运算及它们的性质．

**交$\cap$**  如 $A \cap B$ 是 $A$ 和 $B$ 之交；$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ 表示集合族 $\left\{A_\lambda \mid \lambda \in\right. \Lambda\}$ 中所有集合之交．

**并U** 如 $A \cup B$ 是 $A$ 和 $B$ 之并；$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ 表示集合族 $\left\{A_\lambda \mid \lambda \in\right. \Lambda\}$ 中所有集合之并．

交并运算各自都满足交换律与结合律。
交与并有分配律：
（1）$B \cup \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda=\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\left(B \cup A_\lambda\right)$ ；
（2）$B \cap \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda=\bigcup_{\lambda \in \Lambda}\left(B \cap A_\lambda\right)$ ．

**差** $\backslash A \backslash B$ 表示属于 $A$ 而不属于 $B$ 的元素的集合．

**余集** $\quad A^c:=X \backslash A$ ．

显然 $A \backslash B=A \cap B^c$ ．

**De Morgan 公式**：

（3）$B \backslash \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda=\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\left(B \backslash A_\lambda\right)$ ；
（4）$B \backslash \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda=\bigcup_{\lambda \in \Lambda}\left(B \backslash A_\lambda\right)$ ．
特别当 $B=X$ 为全集时，（3）和（4）分别变为
（5）$\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda\right)^c=\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c$ ；
（6）$\left(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda\right)^c=\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c$ ．

### 2．映射
设 $X$ 和 $Y$ 都是集合，映射 $f: X \rightarrow Y$ 是一个对应关系，使 $\forall x \in X$ ，对应着 $Y$ 中的一点 $f(x)$（称为 $x$ 的像点）．

若 $A \subset X$ ，记 $f(A):=\{f(x) \mid x \in A\}$ ，是 $Y$ 的一个子集，称为 $A$ 在 $f$ 下的像．若 $B \subset Y$ ，记 $f^{-1}(B):=\{x \in X \mid f(x) \in B\}$ ，称为 $B$在 $f$ 下的完全原像（或简称原像）。

当 $f(X)=Y$ 时，称 $f$ 是满的；若 $X$ 中不同点的像点也不同，则称 $f$ 是单的．既单又满的映射称为一一对应．当 $f$ 是一一对应

时，它就有一个逆映射，记作 $f^{-1}$ ．此时，$\forall B \subset Y, f^{-1}(B)$ 有两种理解：$B$ 在 $f$ 下的原像；$B$ 在 $f^{-1}$ 下的像，它们的意义是一致的．

关于 $f$ 下的像与原像有如下规律：
（1）$f^{-1}\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} B_\lambda\right)=\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}\left(B_\lambda\right)$ ；
（2）$f^{-1}\left(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} B_\lambda\right)=\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}\left(B_\lambda\right)$ ；
（3）$f^{-1}\left(B^c\right)=\left(f^{-1}(B)\right)^c$ ；
（4）$f^{-1}(B \backslash D)=f^{-1}(B) \backslash f^{-1}(D)$ ；
（5）$f\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda\right)=\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f\left(A_\lambda\right)$ ；
（6）$f\left(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda\right) \subset \bigcap_{\lambda \in \Lambda} f\left(A_\lambda\right)$ ，当 $f$ 单时为相等；
（7）$f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B$ ，当 $f$ 满时为相等；
（8）$f^{-1}(f(A)) \supset A$ ，当 $f$ 单时为相等。
设 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow Z$ 都是映射，$f$ 与 $g$ 的复合（或称乘积）是 $X$ 到 $Z$ 的映射，记作 $g \circ f: X \rightarrow Z$ ，规定为 $g \circ f(x)= g(f(x)), \forall x \in X$ ．则有
（9）$g \circ f(A)=g(f(A))$ ；
（10）$(g \circ f)^{-1}(B)=f^{-1}\left(g^{-1}(B)\right)$ ．
集合 $X$ 到自身的**恒同映射**（保持每一点不变）记作 $\mathrm{id}_X: X \rightarrow X$（常简记为 id）．若 $f: X \rightarrow Y$ 是映射，$A \subset X$ ，规定 $f$ 在 $A$ 上的限制为 $f|A: A \rightarrow Y, \forall x \in A, f| A(x)=f(x)$ 。记 $i: A \rightarrow X$ 为**包含映射**，即 $\forall x \in A, i(x)=x$ 。于是，$i=\mathrm{id}|A, f| A=f \circ i$ 。

### 3．笛卡儿积
设 $X_1$ 和 $X_2$ 都是集合，称集合

$$
X_1 \times X_2:=\{\text { 有序偶 }(x, y) \mid x \in X, y \in Y\}
$$

为 $X_1$ 与 $X_2$ 的**笛卡儿积**．称 $x$ 和 $y$ 为 $(x, y)$ 的**坐标**．
$n$ 个集合的笛卡儿积 $X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$ 可类似地定义。
记 $X^n=\overbrace{X \times X \times \cdots \times X}^{n \text { 个 }}$ ．例如 $\boldsymbol{R}^n=\left\{\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mid x_i \in \boldsymbol{R}\right\}$ ．

称 $X^2=X \times X$ 的子集

$$
\Delta(X):=\{(x, x) \mid \forall x \in X\}
$$

为对角子集（常简记作 $\Delta$ ）．
### 4．等价关系
集合 $X$ 上的一个关系 $R$ 是 $X \times X$ 的一个子集，当 $\left(x_1, x_2\right) \in R$时，说 $x_1$ 与 $x_2 R$ 相关，记作 $x_1 R x_2$ 。

集合 $X$ 的一个关系 $R$ 称为**等价关系**，如果满足：
（1）自反性：$\forall x \in X, x R x$（即 $\Delta(X) \subset R$ ）；
（2）对称性：若 $x_1 R x_2$ ，则 $x_2 R x_1$ ；
（3）传递性：若 $x_1 R x_2, x_2 R x_3$ ，则 $x_1 R x_3$ ．
等价关系常用～表示，如 $x_1 R x_2$ 记作 $x_1 \sim x_2$ ，称为 $x_1$ 等价于 $x_2$ 。当 $X$ 上有等价关系～时，可把 $X$ 分成许多子集：凡是互相等价的点属同一子集。称每个子集为一个～**等价类**，记 $X / \sim$ 是全部等价类的集合，称为 $X$ 关于 $\sim$ 的**商集**．$\forall x \in X$ 所在等价类记作 $\langle x\rangle$ 。于是

$$
X / \sim=\{\langle x\rangle \mid x \in X\} .
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：没有了

下一篇：第一章拓扑空间与连续映射

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)