最后更新: 2024-04-24 11:34 查看: 125 次反馈刷题

尺规作图

## 一、作一条线段与已知线段相等
已知：线段$a$ (图1.65).求作：一段线等于$a$.
 ![图片](/uploads/2024-04/6dbf44.jpg)
 
 
作法：
  任作一条射线$OA$,
 以$O$为圆心，$a$为半径画弧，交$OA$于$B$, 则$OB$为所求．

## 作一个角与已知角相等
已知：$\angle O$.求作：一角等于$\angle O$.
 ![图片](/uploads/2024-04/e8bd0e.jpg)
 
 作法：（图1.66）
作一射线$O'X$;
以$O$为圆心任意长为半径作一圆弧，交$\angle O$的两边于$A$、$B$两点；
不改变半径，以$O'$为圆心作一圆弧，交$O'X$于$B$点；
以$B'$为圆心，$\overline{BA}$为半径作一圆弧，与前一圆弧交
	于$A'$点；
作射线$O'A'$，则$\angle A'O'B'$就等于$\angle O$.

理由：由作法可知：

$\because\quad \overline{OA}=\overline{O'A'},\quad \overline{OB}=\overline{O'B'},\quad \overline{AB}=\overline{A'B'}$

$\therefore\quad \triangle AOB\cong \triangle A'O'B'$（SSS）

$\therefore\quad \angle A'O'B'=\angle O$.

## 已知三边作三角形
已知：三条线段$a$、$b$、$c$.求作：一三角形使其三边长分别等于$a$、$b$、$c$.
 ![图片](/uploads/2024-04/33c7cc.jpg)
 
 
作法：（图1.67）
  作$\overline{BC}=a$
 分别以$B$、$C$为圆心，$c$、$b$为半径在$\overline{BC}$的同
	旁作两条弧，它们相交于$A$点．
 连结$\overline{AB}$、$\overline{AC}$, 则$\triangle ABC$为满足已知条件的三角形．
 
 如果已知条件中，$b+c\le a$或$a+b\le c$或$a+c\le b$, 则作不成三角形．图1.68是$b+c\le a$的情况．
  ![图片](/uploads/2024-04/ca8c32.jpg)
  
 ## 已知两角及夹边作三角形
 已知：$\angle \alpha$、$\angle \beta$及线段$a$.
求作：$\triangle ABC$, 使$\angle B=\angle \alpha$, $\angle C=\angle \beta$, $\overline{BC}=a$.
 ![图片](/uploads/2024-04/a5d749.jpg)
 作法：（图1.69）
 
  作$\overline{BC}=a$,
 作$\angle XBC=\angle \alpha$,
 作$\angle YCB=\angle \beta$,
 射线$BX$与射线$CY$相交于$A$点．
 
则$\triangle ABC$即为所求作的三角形．

理由：请同学们自己说明．

## 作已知角的平分线
 已知：$\angle AOB$

求作：$\angle AOB$的平分线．（在$\angle AOB$内部，以$O$为端
点作一条射线，使它把$\angle AOB$分成相等的两个角，这条射
线就是$\angle AOB$的平分线．）
 ![图片](/uploads/2024-04/1a2f64.jpg)
 
 
作法：（图1.71）

以点$O$为圆心，任意
长为半径作弧，交$\angle AOB$的两边
于$A'$、$B'$两点．
 再分别以$A'$、$B'$为圆心，以$OA'$为半径作两条弧交于$C$点．
作射线$OC$, 
则射线$OC$即为所求的$\angle AOB$的平分线．

理由：根据作法，在$\triangle A'OC$和$\triangle B'OC$中，

$\because\quad \overline{OC}=\overline{OC},\quad \overline{OB'}=\overline{OA'},\quad \overline{A'C}=\overline{B'C}$

$\therefore\quad \triangle A'OC\cong \triangle B'OC$, (SSS)

$\therefore\quad \angle A'OC=\angle B'OC$. （全等三角形对应角相等）

我们把平分角的射线叫做\textbf{角的平分线}．如果给定
的是一个平角，那么这个角的平分线和这个平角的两条边有什么关系？

## 过已知直线上一点，作一直线和已知直线垂直
已知：直线$\ell$和$\ell$上一点$P$ (图1.72)

求作：过$P$点并且垂直于直线$\ell$的直线．

![图片](/uploads/2024-04/2174b2.jpg)
 
 
作法：
 
	\item 以点$P$为圆心，任意
长为半径作弧交$\ell$于$A$、$B$两点．
  分别以$A$、$B$为圆心，以大于$\overline{AB}$的一半为半径作两条弧交于$Q$点，
  过$Q$、$P$作直线$QP$, 则直线$QP\bot\ell$于$P$点．
  
理由：请同学们自己说明．

## 过已知直线外一点作已知直线的垂线
已知：直线$\ell$和$\ell$外一点$P$(图1.73),

求作：过$P$点并且垂直于$\ell$的直线．
 ![图片](/uploads/2024-04/006bf2.jpg)
 
作法：
 
 以$P$为圆心，在$\ell$上任
意取$C$点，以大于$\overline{PC}$长的线段为
半径画弧交于$\ell$于$A$、$B$两点；
  分别以$A$、$B$为圆心，以
$\overline{AB}$为半径画两条弧相交于$Q$点；
  过$P$、$Q$作直线$PQ$, 则直线$PQ$即为所求作的垂线．

理由：（略）

## 求已知线段的中点

已知：$\overline{AB}$(图1.74).

求作：$\overline{AB}$的中点．
 ![图片](/uploads/2024-04/ed2acb.jpg)
 
 
作法：
 
 分别以$A$、$B$为圆心，以$\overline{AB}$为半径画两条弧
交于$P$、$Q$两点．
 过$P$、$Q$两点作直线交$\overline{AB}$于$M$点，则$M$点就是$\overline{AB}$
的中点．
 
这种作法和作$\overline{AB}$的垂线的作法一致，因而直线
$\overline{PQ}$不仅平分$\overline{AB}$, 还垂直$\overline{AB}$,因此我们把$\overline{PQ}$叫做$\overline{AB}$的垂
直平分线．线段的垂直平分线的一般意义可表述为：垂直且
平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．

## 过已知直线外一点作已知直线的平行线
已知；直线$\ell$和$\ell$外一点$P$(图1.75).

求作：过$P$点作一直线和$\ell$平行．

作法：
 
 在直线$\ell$上任取一点$P'$.
 过$P$、$P'$作直线$PP'$.
  作$\angle QPM=\angle\alpha$.
 
则直线$PM$和$\ell$平行．

理由：由作法$\angle QPM=\angle\alpha$，
所以直线$PM\parallel \ell$（同位角相等则两条直线平行）．

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