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多项式的根及求根公式

我们已经知道, 如果当 $x=a$ 时, 多项式的值 $f(a)=0$, 就把数值 $a$ 叫做多项式 $f(x)$ 的一个根，或叫做多项式函数 $f(x)$ 的一个零点。

显然，零次多项式 $f(x)=b \neq 0$ ，没有任何根；零多项式 $f(x)=0$ 有无限多个根（任意数都是它的根）。

因此，一元 $n$ 次多项式

$$
f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \quad\left(a_n \neq 0\right)
$$

的根，就是一元 $n$ 次方程

$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0=0
$$

的根. 求多项式的根, 就是解相应的方程式.
要求多项式的根，首先应明确在那一个数系范围内，因为多项式和方程一样, 同一个多项式在不同的数系范围内, 可能会有不同的根存在.

在此，我们主要讨论和计算多项式的实数根，对其中更容易研究的有理系数多项式的有理根及整系数多项式的整数根更要特别讨论.

一、一元一、二次多项式的求根公式
一元一次、一元二次多项式的求根公式也就是一元一次、一元二次方程的求根的公式, 我们早已在初中代数中学习过, 现就一般形式总结如下:
1. 一元一次多项式 $f(x)=a x+b \quad(a \neq 0)$ 有且只有一个实数根：

$$
x=-\frac{b}{a}
$$

2. 一元二次多项式 $f(x)=a x^2+b x+c \quad(a \neq 0)$ 当且仅当 $b^2-4 a c \geq 0$ 时,有两个（不同或相同）实根

$$
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

当且仅当 $b^2-4 a c<0$ 时, 没有实数根.
(4.1), (4.2) 就是一次和二次多项式的求根公式, 也叫做多项式的公式解,它显示了用多项式的各项系数通过加、减、乘（乘方）、除、开方运算，就可以求得它的根。

由求根公式 (4.1) 可以知道, 对于一次多项式来说, 它的根仅仅是系数进行减、除运算，因而，由有理数系对加、减、乘、除运算的封闭性就得出：

有理系数一次多项式，一定有一个有理数根，而由整数系对除法运算的不封闭性就得出：整系数一次多项式，不一定有整数根。

例如, $f(x)=3 x-2$, 有一个有理根 $x=\frac{2}{3}$, 但没有整数根.
还应指出, 对于系数为参数的多项式 $\varphi_1(x)=a x+b$ 的根, 可进行一般性的全面讨论：
1. 当 $a \neq 0$ 时, 不论 $b$ 为任何数, $\varphi_1(x)$ 都有唯一实数根: $x=-\frac{b}{a}$;
2. 当 $a=0$, 但 $b \neq 0$ 时, $\varphi_1(x)$ 为零次多项式, 它没有任何根;
3. 当 $a=b=0$ 时, $\varphi_1(x)=0$ 为零多项式, 它有无限多个根.
例 4.1 试讨论 $g(x)=2(a+b) x-(a+b)^2$ 的根的情形, 如有根存在, 求出根.
解: 由多项式根的定义知, $2(a+b) a-(a+b)^2=0$ 即

$$
2(a+b) x=(a+b)^2
$$

- 当 $a+b \neq 0$ 时, $g(x)$ 有唯一实根： $x=\frac{a+b}{2}$;
- 当 $a+b=0$, 即 $a=-b$ 时, $g(x)=0$, 它有无限多个根, 即任意实数都是它的根.
由求根公式 (4.2) 同样可以知道, 对于二次多项式来说, 它的根要通过系数的加、减、乘（乘方）、除法运算以及开平方运算而求出，因而，由有理数系对开平方运算的不封闭性，就得出：

有理系数二次多项式，不一定有有理数根存在。更不一定有整数根存在.
事实上，即便是整系数二次多项式，也不一定有整数根或有理根，甚至没有实数根。

讨论一元二次多项式的根，和一元二次方程根的讨论一样，可由判别式 $b^2-$ $4 a c$ 的符号分为三种情形:
1. 当 $b^2-4 a c>0$ 时, $f(x)$ 有两个不同实根;
2. 当 $b^2-4 a c=0$ 时, $f(x)$ 有两个相同实根;
3. 当 $b^2-4 a c<0$ 时, $f(x)$ 没有实根.

同样地对于系数为参数的多项式 $\varphi_2(x)=a x^2+b x+c$ 的根, 也可以系统全面的讨论如下：
1. 当 $a \neq 0$ 时, $\varphi_2(x)$ 为二次多项式, 它的根可由上述三种不同情形分别讨论;
2. 当 $a=0$, 但 $b \neq 0$ 时, $\varphi_2(x)$ 为一次多项式, 它有唯一实根;
3. 当 $a=b=0$, 但 $c \neq 0$ 时, $\varphi_2(x)$ 为零次多项式, 它没有根;
4. 当 $a=b=c=0$ 时, $\varphi_2(x)=0$ 为零多项式, 它有无限多个根.

对于一元二次多项式 $f(x)=a x^2+b x+c \quad(a \neq 0)$ 如果有两个根 $\alpha_1, \alpha_2$存在，同样也满足韦达定理。即
$$
\alpha_1+\alpha_2=-\frac{b}{a}, \quad \alpha_1 \cdot \alpha_2=\frac{c}{a}
$$

例 4.2 若已知二次多项式 $f(x)$ 有两个实根

$$
\alpha_1=\sin (\alpha+\beta), \quad \alpha_2=\sin (\alpha-\beta)
$$

试求这个二次多项式 $f(x)$.
解：由韦达定理可知

$$
f(x)=x^2-[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)] x+\sin (\alpha+\beta) \cdot \sin (\alpha-\beta)
$$

所以

$$
f(x)=x^2-2 x \sin \alpha \cdot \cos \beta+\sin ^2 \alpha-\sin ^2 \beta
$$

## 二、一元三次和一元高次多项式的根
我们已经知道对于一个非零常数 $k \neq 0$, 方程 $f(x)=0$ 与 $k \cdot f(x)=0$ 具有完全相同的根，因此，相应地就可以知道多项式 $f(x)$ 与多项式 $k \cdot f(x)$ 也有完全相同的根, 这就是说, 在求一个多项式 $f(x)$ 的根时, 可以用求另一个多项式 $k f(x)$ 的根来代替。

应用这个道理，对于一元三次多项式

$$
f(x)=a x^3+b x^2+c x+d \quad(a \neq 0)
$$

求根, 就可以转化为对于三次多项式

$$
\varphi(x)=x^3+\frac{b}{a} x^2+\frac{c}{a} x+\frac{d}{a}
$$

的求根问题, 不妨把 $\varphi(x)$ 简记为

$$
\varphi(x)=x^3+r x^2+s x+t
$$

这叫做一元三次多项式的标准形式，其主要特点是首项系数为 1 。
为了求出一元三次多项式 (4.4) 的根, 我们还可以用换元的方法, 进一步把它化简。令 $x=y-\frac{r}{3}$, 代人 (4.4), 经展开整理后得

$$
g(y)=y^3+\left(s-\frac{r^2}{3}\right) y+\left(t-\frac{r s}{3}+\frac{2 r^3}{27}\right)
$$

我们再把它简记为

$$
g(y)=y^3+p y+q=0 \quad(p, q \text { 为实数 })
$$
并叫做一元三次多项式的简化形式. 其主要特点是首项系数为 1 , 而且不含有二次项。

综上所述，只要求出三次多项式的简化形式 $g(y)$ 的根 $\alpha$ ，就可求得三次多项式的标准形式 $\varphi(x)$ 的根 $x=\alpha-\frac{r}{3}$, 进而求得三次多项式的一般形式 $f(x)$的根 $x=\alpha-\frac{b}{3 a}$. 因此, 一元三次多项式的求根问题, 关键就在于求出简化形式三次多项式的根。

例4.3 试求多项式 $f_1(x)=x^3-9 x^2+33 x-65$ 相应的简化式.
解: 令 $x=y+3$, 代人 $f(x)$ 表达式, 得

$$
\begin{aligned}
g_1(y) & =(y+3)^3-9(y+3)^2+33(y+3)-65 \\
& =y^3+9 y^2+27 y+27-9 y^2-54 y-81+33 y+99-65 \\
& =y^3+6 y-20
\end{aligned}
$$

所以 $g_1(y)=y^3+6 y-20$.
对于简化一元三次多项式 $g(y)=y^3+p y+q$ 求根, 我们可以采用以下方法：

首先，设它的根 $y_0=u+v$ ，则可分别确定 $u, v$ ，使得

$$
(u+v)^3+p(u+v)+q=0
$$

即

$$
u^3+v^3+q+(u+v)(3 u v+p)=0
$$
这是一个含有两个未知数的方程, 为了确定 $u$ 与 $v$ 的值, 我们可以选取一个条件, 在此条件下将方程 (4.6) 转化为一个二元方程组求解.

我们选择条件, 使 $3 u v+p=0$, 即 $3 u v=-p$, 就将方程 (4.6) 转化为方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
u^3+v^3+q=0 \\
3 u v=-p
\end{array}\right.
$$

进一步变换方程组为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\left(u^3+v^3\right)^2=q^2 \\
4 u^3 \cdot v^3=-4\left(\frac{p}{3}\right)^3
\end{array}\right.
$$

两式相减, 得 $\left(u^3-v^3\right)^2=q^2+4\left(\frac{p}{3}\right)^3$, 即:

$$
u^3-v^3= \pm \sqrt{q^2+4\left(\frac{p}{3}\right)^3}
$$
这样就得出方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
u^3+v^3=-q \\
u^3-v^3= \pm 2 \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}
\end{array}\right.
$$

解这个方程组, 得

$$
u^3=-\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}, \quad v^3=-\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}
$$

其中, 由于 $u, v$ 在方程组中地位等同, 所以我们仅取一组符号即可, 所以

$$
u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}, \quad v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
$$

这样, 对于简化三次多项式 $g(y)=y^3+p y+q$, 就得出它的求根公式:

$$
\begin{aligned}
y_0 & =u+v \\
& =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
\end{aligned}
$$

这就是著名的卡尔丹公式.
运用这个公式, 一般可以求出三次多项式的至少一个实根.

例 4.4 求 $f(x)=x^3-9 x^2+33 x-65$ 的实根.
解: 由例 4.3 知, $f(x)$ 相应的简化形式, 可利用代换 $x=y+3$ 得出

$$
g(y)=y^3+6 y-20
$$

代人卡尔丹公式，求得

$$
y=\sqrt[3]{10+6 \sqrt{3}}+\sqrt[3]{10-6 \sqrt{3}}
$$

$\therefore \quad f(x)$ 的实根为

$$
x=\sqrt[3]{10+6 \sqrt{3}}+\sqrt[3]{10-6 \sqrt{3}}+3
$$

注意：在卡尔丹公式中，二次根号下的式子，记作

$$
\Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3
$$

叫做三次多项式根的判别式.
1. 当 $\Delta>0$ 时, 三次多项式有且只有一个实根;
2. 当 $\Delta \leq 0$ 时, 三次多项式有三个实根.

详细讨论，需要学习复数后进行。
对于四次多项式的求根，也有一般的公式，然而它比三次多项式更要复杂得多，因而实用价值更小，我们这里就略去。

这里不禁要问：是否任何高次多项式的根都可以有一个求根公式呢？回答是否定的. 经过许多数学家的多年努力，于十九世纪廿年代证明了：一般五次以及更高次的多项式不存在求根公式（即不能用它的系数，经过加、减、乘（乘方)、除、开方运算把它的根表达出来).

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