最后更新: 2024-11-09 21:40 ● 参与者查看: 16 次纠错分享参与项目词条搜索

*平行线等分线段定理

## 平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截出一组等长的线段, 那么在任一条与这组平行线相交的直线上也被截为一组等长的线段.

已知: $\ell_1 / / \ell_2 / / \ell_3$, 直线 $m$ 与 $\ell_1 、 \ell_2 、 \ell_3$ 分别相交于 $A_1, A_2, A_3$ 且 $\overline{A_1 A_2}=\overline{A_2 A_3}$; 任一条直线 $n$ 分别与 $\ell_1 、 \ell_2 、 \ell_3$ 相交于 $B_1, B_2, B_3$ (图 3.65).

求证: $\overline{B_1 B_2}=\overline{B_2 B_3}$.
证明: 过 $A_1 、 A_2$ 分别作直线 $n$ 的平行线 $A_1 C_1 、 A_2 C_1$, 与 $\ell_2 、 \ell_3$ 分别交于 $C_1, C_2$ 两点. 在 $\triangle A_1 A_2 C_1$ 和 $\triangle A_2 A_3 C_2$ 中,
$\because \overline{A_1 A_2}=\overline{A_2 A_4}$ (已知), $\ell_1 / / \ell_2 / / \ell_3$ (已知). $A_1 C_1 / / n_1, A_2 C_2 / / n$,
$\therefore A_1 C_1 / / A_2 C_2$ (平行于第三条直线的两条直线平行).
$\therefore \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$ (两条直线平行同位角相等).
$\therefore \triangle A_1 A_2 C_1 \cong \triangle A_2 A_3 C_2$ (ASA).
$\therefore A_1 C_1=A_2 C_2$ (全等三角形的对应边相等). 但四边形 $A_1 C_1 B_2 B_1$ 和 $A_2 C_2 B_3 B_2$ 都是平行四边形, 由于平行四边形对边相等,
$\therefore \overline{A_1 C_1}=\overline{B_1 B 2}, \overline{A_2 C_2}=\overline{B_2 B_3}$.
$\therefore \overline{B_1 B_2}=\overline{B_2 B_3}$ (等量代换).
 ![图片](/uploads/2024-11/07c3c6.jpg)

### 推论
经过三角形一边中点并和另一边平行的直线，平分第三边（图 3.66）
 ![图片](/uploads/2024-11/f4d966.jpg)
 例 3.32 已知： $\overline{A B}$ (图 3.67).
求作: $\overline{A B}$ 上的点 $D_1 、 E_1 、 F_1 、 G_1$, 使 $\overline{A D_1}=\overline{D_1 E_1}=\overline{E_1 F_1}=\overline{F_1 G_1}=\overline{G_1 B}$ (将 $\overline{A B}$ 五等分).

作法:
1. 作射线 $A C$,
2. 在射线 $A C$ 上截取 $\overline{A D}=\overline{D E}=\overline{E F}=\overline{F G}=\overline{G H}$,
 
3. 连结 $B 、 H$,
4. 过各分点 $D 、 E 、 F 、 G$ 分别作 $B H$ 的平行线交 $\overline{A B}$ 于 $D_1 、 E_1 、 F_1 、 G_1$,则 $D_1 、 E_1 、 F_1 、 G_1$ 把 $\overline{A B}$ 五等分。

证明：略
应用平行线等分线段定理可以用直尺和圆规任意等分一条线段．

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