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商的分布

## 商的分布
设二维随机向量 $(X, Y)$ 的密度函数为 $f(x, y)$, 求 $Z=\frac{X}{Y}$ 的密度函数.由定义可得 $Z=\frac{X}{Y}$ 的分布函数为

$$
F_Z(z)=P(Z \leqslant z)=P\left(\frac{X}{Y} \leqslant z\right)=\iint_{\frac{x}{y} \leq z} f(x, y) d x d y .
$$

令 $u=y, v=\frac{x}{y}$, 即 $x=u v, y=u$. 这一变换的雅可比（Jacobi）行列式为

$$
J=\left|\begin{array}{ll}
v & u \\
1 & 0
\end{array}\right|=-u .
$$

于是, 代入得

$$
F_Z(z)=\iint_{v \leqslant z} f(u v, u)|J| d u d v=\int_{-\infty}^z\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(u v, u)|u| d u\right] d v .
$$

这就是说, 随机变量 $Z$ 的密度函数为

$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(u z, u)|u| d u .
$$

特别地, 当 $X$ 和 $Y$ 独立时, 有

$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(u z) f_Y(u)|u| d u,
$$

其中 $f_X(x) 、 f_Y(y)$ 分别为 $(X, Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘概率密度。
`例` 设 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 它们都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布. 求 $Z=\frac{X}{Y}$ 的密度函数.
解 依题意，知

$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\lambda e^{-\lambda x}, & x \geqslant 0 \\
0, & x<0
\end{array}, \quad f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\lambda e^{-\lambda y}, & y \geqslant 0 \\
0, & y<0
\end{array},\right.\right.
$$

因 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 故 $f(x, y)=f_X(x) f_Y(y)$.
由商的分布, 知

$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y| f_X(y z) f_Y(y) d y,
$$

当 $z \leqslant 0$ 时, $f_Z(z)=0$;
当 $z>0$ 时, $f_Z(z)=\lambda^2 \int_0^{+\infty} e ^{-\lambda y(1+z)} y d y=1 /(1+z)^2$,
故 $Z$ 的密度函数为 $f_Z(z)=\left\{\begin{array}{ll}1 /(1+z)^2, & z>0 \\ 0, & z \leqslant 0\end{array}\right.$.

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