最后更新: 2024-12-14 09:28 ● 参与者查看: 298 次纠错分享参与项目词条搜索

天体质量和密度的计算

1.利用天体表面重力加速度已知天体表面的重力加速度 $g$ 和天体半径 $R$.
(1)由 $G \frac{M m}{R^2}=m g$, 得天体质量 $M=\frac{g R^2}{G}$.
(2)天体密度 $\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}=\frac{3 g}{4 \pi G R}$.

2.利用运行天体

已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 $r$ 和周期 $T$.
(1)由 $G \frac{M m}{r^2}=m \frac{4 \pi^2}{T^2}$ ，得 $M=\frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$ 。
(2)若已知天体的半径 $R$, 则天体的密度 $\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}=\frac{3 \pi r^3}{G T^2 R^3}$.
(3)若卫星绕天体表面运行, 可认为轨道半径 $r$ 等于天体半径 $R$, 则天体密度 $\rho=\frac{3 \pi}{G T^2}$, 故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 $T$, 就可估算出中心天体的密度.

`例`宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为 $h$ 处下落，经时间落到月球表面.已知引力常量为 $G$ ，月球的半径为 $R$ (不考虑月球自转的影响).求:
（1）月球表面的自由落体加速度大小 $g_{\text {月 }}$ ；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
解：（1）月球表面附近的物体做自由落体运动，有 $h=\frac{1}{2} g_{\text {月 }} t^2$月球表面的自由落体加速度大小 $g_{\text {月 }}=\frac{2 h}{t^2}$

（2）不考虑月球自转的影响, 有 $G \frac{M m}{R^2}=m g_{\text {月 }}$, 得月球的质量 $M=\frac{2 h R^2}{G t^2}$

（3）月球密度 $ \rho=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2 h R^2}{G t^2}}{\frac{4 \pi}{3} R^3}=\frac{3 h}{2 \pi R G t^2} $

`例`登月舱在离月球表面112 km的高空圆轨道上，环绕月球做匀速圆周运动，运动周期为120.5 min，月球的半径约为1.7×103 km，只考虑月球对登月舱的作用力，引力常量G＝6.67× 10－11 N·m2/kg2，则月球质量约为
A.6.7×1022 kg  			B.6.7×1023 kg
C.6.7×1024 kg  			D.6.7×1025 kg

解：由题意可知， $h=112 km=1.12 \times 10^5 m, T=120.5 min=7230 s, R=$ $1.7 \times 10^3 km=1.7 \times 10^6 m$ ，
设月球的质量为 $M$ ，登月舱的质量为 $m$ ，由月球对登月舱的万有引力提供向心力，
可得 $G_{(R+h)^2}=m \frac{4 \pi^2}{T^2}(R+h)$, 可有 $M=\frac{4 \pi^2(R+h)^3}{G T^2}$ ，代入数据解得 $M \approx 6.7 \times 10^{22} kg$, A 正确, B、C、D 错误.

`例`(多选)  "嫦娥五号" 探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为 $r$ ，速度大小为 $v$. 已知月球半径为 $R$ ，引力常量为 $G$ ，忽略月球自转的影响.下列选项正确的是
A. 月球平均密度为 $\frac{3 v^2}{4 \pi G R^2}$
B. 月球平均密度为 $\frac{3 v^2 r}{4 \pi G R^3}$
C. 月球表面重力加速度大小为 $\frac{v^2}{R}$
D. 月球表面重力加速度大小为 $\frac{v^2 r}{R^2}$

解：由万有引力提供向心力, 可得 $G \frac{M m}{r^2}=m \frac{v^2}{r}$, 解得 $M=\frac{v^2 r}{G}$, 月球体积 $V$ $=\frac{4}{3} \pi R^3$, 所以月球平均密度为 $\rho=\frac{M}{V}=\frac{3 v^2 r}{4 \pi G R^3}$, 故 A 错误, B 正确;在月球表面, 有 $G \frac{M m}{R^2}=m g$, 解得月球表面重力加速度大小为 $g=\frac{G M}{R^2}$ $=\frac{v^2 r}{R^2}$, 故 C 错误, D 正确。

`例`若地球半径为 $R$ ，把地球看作质量分布均匀的球体. "蛟龙号"下潜深度为 $d$ ，"天宫一号"轨道距离地面高度为 $h$ ，"蛟龙" 号所在处与 "天宫一号" 所在处的重力加速度大小之比为（质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)
A. $\frac{R-d}{R+h}$
B. $\frac{(R-d)^2}{(R+h)^2}$
C. $\frac{(R-d)(R+h)^2}{R^3}$
D. $\frac{(R-d)(R+h)}{R^2}$

解：设地球的密度为 $\rho$, 则在地球表面, 物体受到的重力和地球的万有引力大小似近相等，有 $g=G \frac{M}{R^2}$.由于地球的质量为 $M=\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$,
所以重力加速度的表达式可写成 $g=\frac{G M}{R^2}=\frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2}=\frac{4}{3} \pi G \rho R$.质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为 $d$ 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于 $(R-d)$ 的球体在其表面产生的万有引力，故 "蛟龙号" 的重力加速度 $g^{\prime}=\frac{4}{3} \pi G \rho(R-d)$, 所以有 $\frac{g^{\prime}}{g}=\frac{R-d}{R}$;根据万有引力提供向心力有 $G \frac{M m}{(R+h)^2}=m a$, "天宫一号" 所在处的重力加速度为 $a=\frac{G M}{(R+h)^2}$,所以 $\frac{a}{g}=\frac{R^2}{(R+h)^2}, \frac{g^{\prime}}{a}=\frac{(R-d)(R+h)^2}{R^3}$, 故 C 正确, A、B、D 错误.

`例` (多选)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖.他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示.图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率(离心率)约为0.87.P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120 AU(太阳到地球的距离为1 AU)，S2的运行周期约为16年.假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出
 ![图片](/uploads/2024-12/e5a3a7.jpg)
A.S2与银河系中心致密天体的质量之比
B.银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C.S2在P点与Q点的速度大小之比
D.S2在P点与Q点的加速度大小之比

解：设银河系中心超大质量的致密天体质量为 $M$ ，恒星 $S_2$ 绕银河系中心(银心)做植圆轨道运动的椭圆半长轴为 $a$ ，半焦距为 $c$ ，根据题述 $Q$ 与 $O$ 的距离约为 120 AU ，可得 $a-c=120 AU$ ，又有椭圆偏心率（离心率）约为 $\frac{c}{a}=0.87$ ，联立可以解得 $a$ 和 $c$ ，设想恒星 $S_2$ 绕银心做半径为 $a$ 的匀速圆周运动，由开普勒第三定律可知周期也为 $T_{S 2}$ ，
 ![图片](/uploads/2024-12/9990fd.jpg)

而 $a=120 r, T_{S 2}=16 T_1$, 联立可解得银河系中心致密天体与太阳的质量之比，不能得出 $S_2$ 与银河系中心致密天体的质量之比，选项A错误，B正确；
由开普勒第二定律有 $\frac{1}{2} v_P(a+c)=\frac{1}{2} v Q(a-c)$, 可解得 $S_2$ 在 $P$点与 $Q$ 点的速度大小之比为 $\frac{v_P}{v_Q}=\frac{a-c}{a+c}$, 选项 C 正确;
 ![图片](/uploads/2024-12/ed2bf8.jpg)

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