最后更新: 2024-12-14 09:28 查看: 940 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

天体质量和密度的计算

1.利用天体表面重力加速度已知天体表面的重力加速度 $g$ 和天体半径 $R$.
(1)由 $G \frac{M m}{R^2}=m g$, 得天体质量 $M=\frac{g R^2}{G}$.
(2)天体密度 $\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}=\frac{3 g}{4 \pi G R}$.

2.利用运行天体

已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 $r$ 和周期 $T$.
(1)由 $G \frac{M m}{r^2}=m \frac{4 \pi^2}{T^2}$ ，得 $M=\frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$ 。
(2)若已知天体的半径 $R$, 则天体的密度 $\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}=\frac{3 \pi r^3}{G T^2 R^3}$.
(3)若卫星绕天体表面运行, 可认为轨道半径 $r$ 等于天体半径 $R$, 则天体密度 $\rho=\frac{3 \pi}{G T^2}$, 故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 $T$, 就可估算出中心天体的密度.

`例`宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为 $h$ 处下落，经时间落到月球表面.已知引力常量为 $G$ ，月球的半径为 $R$ (不考虑月球自转的影响).求:
（1）月球表面的自由落体加速度大小 $g_{\text {月 }}$ ；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
解：（1）月球表面附近的物体做自由落体运动，有 $h=\frac{1}{2} g_{\text {月 }} t^2$月球表面的自由落体加速度大小 $g_{\text {月 }}=\frac{2 h}{t^2}$

（2）不考虑月球自转的影响, 有 $G \frac{M m}{R^2}=m g_{\text {月 }}$, 得月球的质量 $M=\frac{2 h R^2}{G t^2}$

（3）月球密度 $ \rho=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2 h R^2}{G t^2}}{\frac{4 \pi}{3} R^3}=\frac{3 h}{2 \pi R G t^2} $

`例`登月舱在离月球表面112 km的高空圆轨道上，环绕月球做匀速圆周运动，运动周期为120.5 min，月球的半径约为1.7×103 km，只考虑月球对登月舱的作用力，引力常量G＝6.67× 10－11 N·m2/kg2，则月球质量约

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