最后更新: 2024-12-14 10:11 ● 参与者查看: 34 次纠错分享参与项目词条搜索

天体的追及问题

`例` 如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0.某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为
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 A. $\frac{T_0}{2\left(\sqrt{k^3}+1\right)}$
B. $\frac{T_0}{\sqrt{k^3}-1}$
C. $\frac{T_0}{2\left(\sqrt{k^3}-1\right)}$
D. $\frac{T_0}{\sqrt{k^3}+1}$
解：由开普勒第三定律得 $\frac{r_A{ }^3}{T_A{ }^2}=\frac{r_B{ }^3}{T_B{ }^2}$, 设两卫星至少经过时间 $t$ 距离最远,即 $B$ 比 $A$ 多转半圈, $\frac{t}{T_B}-\frac{t}{T_A}=n_B-n_A=\frac{1}{2}$, 又由 $A$ 是地球同步卫星知 $T_A=T_0$, 联立解得 $t=\frac{T_0}{2\left(\sqrt{k^3}-1\right)}$, 故选 C.

## 天体 "追及" 问题的处理方法
1. 相距最近：两同心转动的卫星 $\left(r_A<r_B\right)$ 同向转动时, 位于同一直径上且在圆心的同侧时, 相距最近.从相距最近到再次相距最近, 两卫星的运动关系满足: $\left(\omega_A-\omega_B\right) t=2 \pi$ 或 $\frac{t}{T_A}-\frac{t}{T_B}=1$.
2. 相距最远: 两同心转动的卫星 $\left(r_A<r_B\right)$ 同向转动时, 位于同一直径上且在圆心的异侧时, 相距最远.从相距最近到第一次相距最远,两卫星的运动关系满足: $\left(\omega_A-\omega_B\right) t^{\prime}=\pi$ 或 $\frac{t^{\prime}}{T_A}-\frac{t^{\prime}}{T_B}=\frac{1}{2}$.

`例` (多选)如图，在万有引力作用下， $a 、 b$ 两卫星在同一平面内绕某一行星 $c$ 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为 $r_a: r_b=$ $1: 4$ ，则下列说法中正确的有
A. $a 、 b$ 运动的周期之比为 $T_a: T_b=1: 8$
B. $a 、 b$ 运动的周期之比为 $T_a: T_b=1: 4$
C. 从图示位置开始，在 $b$ 转动一周的过程中， $a 、 b 、 c$共线12次
D. 从图示位置开始，在 $b$ 转动一周的过程中， $a 、 b 、 c$ 共线 14 次

解：根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则 $a 、 b$ 运动的周期之比为 $1: 8, A$ 正确， B错误；
设题图所示位置 $a c$ 连线与 $b c$ 连线的夹角为 $\theta<\frac{\pi}{2}, b$ 转动一周（圆心角为 $2 \pi$ ）的时间为 $T_b$ ，则 $a 、 b$ 相距最远时有 $\frac{2 \pi}{T_a} T_b-$ $\frac{2 \pi}{T_b} T_b>(\pi-\theta)+n \cdot 2 \pi(n=0,1,2,3, \cdots)$, 可知 $n=0,1,2, \cdots, 6, n$ 可取 7个值； $a 、 b$ 相距最近时有 $\frac{2 \pi}{T_a} T_b-\frac{2 \pi}{T_b} T_b>(2 \pi-\theta)+m \cdot 2 \pi(m=0,1,2,3, \cdots)$,可知 $m=0,1,2, \cdots, 6, m$ 可取 7 个值, 故在 $b$ 转动一周的过程中, $a 、 b 、 c$ 共线 14 次, C 错误, D 正确.

`例`A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示.已知地球的半径为0.8r，引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有引力，则下列说法正确的是
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 解：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力, 设轨道半径为 $r$, 则有 $G \frac{M m}{r^2}=\frac{m v^2}{r}$, 解得 $v=$ $\sqrt{\frac{G M}{r}}$, 故半径越小, 线速度越大, 因为卫星 $A$ 的线速度大于卫星 $B$的线速度, 故 $r_A<r_B$; 由 $G \frac{M m}{r^2}=m a$, 解得 $a=G \frac{M}{r^2}$, 因为 $r_A<r_B$, 所以 $a_A>a_B, A$ 正确。
第二宇宙速度是卫星摆脱地球引力束缚所必须具有的速度，故卫星发射速度大于第二宇宙速度时，卫星不能绕地球做匀速圆周运动，B错吴.
由题图可知 $r_A+r_B=5 r, r_B-r_A=3 r$, 联立可得 $r_A$ $=r, r_B=4 r$, 由题图可知每隔时间 $T$ 两卫星距离最近，设 $A 、 B$ 的周期分别为 $T_A 、 T_B$ ，则有 $\left(\frac{2 \pi}{T_A}-\right.$ $\left.\frac{2 \pi}{T_B}\right) T=2 \pi$ ，由开普勒第三定律有 $\frac{r_A{ }^2}{T_A{ }^2}=\frac{r_B{ }^3}{T_B{ }^2}$ ，联立可得 $T_A=\frac{7}{8} T, T_B=7 T$ ，由 $G \frac{M m_B}{r_B^2}=m_B r_B \frac{4 \pi^2}{T_B^2}$, 故地球质量为 $M=\frac{256 \pi^2 r^3}{49 G T^2}$, C 正确。
第一宇宙速度是最大的运行速度，由 $G_{(0.8 r)^2}=\frac{m v^2}{0.8 r}$ ，可得 $v=\sqrt{\frac{G M}{0.8 r}}$ $=\frac{8 \sqrt{5} \pi r}{7 T}$, D 正确.
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`例` 2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，至此北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成.北斗导航卫星工作在三种不同的圆形轨道当中，包括地球静止轨道(GEO)、倾斜地球同步轨道(IGSO)以及中圆地球轨道(MEO)，如图所示.以下关于北斗导航卫星的说法中，正确的是
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 A.地球静止轨道卫星与倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大小相等
B.中圆轨道卫星的加速度小于地球静止轨道卫星的加速度
C.倾斜地球同步轨道卫星总是位于地球地面某地的正上方
D.三种不同轨道的卫星的运行速度均大于第一宇宙速度
解：卫星做匀速圆周运动, 万有引力提供向心力. 设地球质量为 $M$, 卫星质量为 $m$, 卫星的轨道半径为 $r$, 卫星运行的速度大小为 $v$, 引力常量为 $G$ ；根据万有引力定律及物体做圆周运动的规律有 $G \frac{M m}{r^2}=m \frac{v^2}{r}$ ，得 $v=\sqrt{\frac{G M}{r}}$, 由于地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道半径相等, 故两卫星的运行速度大小相等, A 正确;

根据万有引力定律及牛顿第二定律, 有 $G \frac{M m}{r^2}=m a$, 得 $a=G \frac{M}{r^2}$, 中圆轨道卫星的运行轨道半径小于地球静止轨道卫星的运行轨道半径故中圆轨道卫星的加速度大于地球静止轨道卫星的加速度，B 错误；倾斜地球同步轨道卫星的旋转方向与地球旋转方向不一致，C错误；

近地卫星的运行速度为第一宇宙速度, 题中三种卫星运行轨道半径均大于近地卫星, 由 $v=\sqrt{\frac{G M}{r}}$ 可知, 三种卫星的运行速度均小于第一宇宙速度, D 错误。

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