最后更新: 2024-12-15 07:59 查看: 88 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

力学三大观点的综合应用

`例`如图所示，水平桌面左端有一顶端高为 $h$ 的光滑圆弧形轨道，圆弧的底端与桌面在同一水平面上,桌面右侧有一坚直放置的光滑圆轨道 $M N P$ ，其形状为半径 $R=0.8 m$ 的圆环剪去了左上角 $135^{\circ}$ 后剩余的部分， $M N$ 为其坚直直径， $P$ 点到桌面的坚直距离也为 $R$.一质量 $m=0.4 kg$ 的物块 $A$ 自圆弧形轨道的顶端释放，到达圆弧形轨道底端恰与一停在圆弧底端水平桌面上质量也为 $m$ 的物块 $B$ 发生弹性正碰（碰撞过程没有机械能的损失），碰后物块 $B$ 的位移随时间变化的关系式为 $x=6 t-2 t^2$ (关系式中所有物理量的单位均为国际单位)，物块 $B$ 飞离桌面后恰由 $P$ 点沿切线落入圆轨道.$A 、 B$ 均可视为质点，重力加速度 $g$ 取 $10 m / s ^2$ ，求:

![图片](/uploads/2024-12/34197d.jpg)
 
 (1)BP间的水平距离$s_{BP}$；
(2)判断物块B能否沿圆轨道到达M点；
(3)物块A由静止释放的高度h.

解：（1）设碰撞后物块 $B$ 由 $D$ 点以速度 $v_D$ 做平抛运
动，落到 $P$ 点时 $v_y{ }^2=2 g R  ...(1)$
其中 $\frac{v_y}{v_D}=\tan 45^{\circ}   ...(2)$
联立(1)(2) 解得 $v_D=4 m / s   ...(3)$
设平抛用时为 $t$, 水平位移为 $x_2$, 则有 $R=\frac{1}{2} g t^2   ...(4)$

$$
x_2=v_D t   ...(5)
$$

联立(4)(5) 解得 $x_2=1.6 m   ...(6)$
由 $x=6 t-2 t^2$ 可知，物块 $B$ 碰后以速度 $v_0=6 m / s$ 、加速度 $a=-4 m / s ^2$
减速到 $v_D$ ，则 $B D$ 过程由运动学公式 $v_D{ }^2-v_0^2=2 a x_1 ...(7)$
解得 $x_1=2.5 m  ...(8)$
故 $B P$ 之间的水平距离 $s_{B P}=x_2+x_1=4.1 m  ...(9)$

假设物块 $B$ 能沿轨道到达 $M$ 点，在 $M$ 点时其速度为 $v_M$ ，由 $D$ 到 $M$ 的运动过程，根据动能
定理，
则有 $-\frac{\sqrt{2}}{2} m g R=\frac{1}{2} m v_M{ }^2-\frac{1}{2} m v_D^2 ...(10)$
设在 $M$ 点轨道对物块的压力大小为 $F_{ N }$ ，
则 $F_{ N }+m g=m \frac{v_{M^2}}{R} ...(11)$
由(1)(11)解得 $F_{ N }=(1-\sqrt{2}) m g<0$ ，假设不成立，即物块 $B$ 不能到达 $M$ 点.
物块 $A 、 B$ 的碰撞为弹性正碰且质量相等，碰撞后速度交换，则 $v_A=v_0=6 m / s  ...(12)$

设物块 $A$ 释放的高度为 $h$ ，对下落过程，根据动能定理有 $m g h=\frac{1}{2} m v_A{ }^2...(13)$ ，
由(12)(13) 解得 $h=1.8 m$.

`例` 如图所示，水平桌面上放置一端有挡板的长平板A，平板上放着物块B和C，B和C之间有一被压缩且劲

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