最后更新: 2024-12-15 12:00 ● 参与者查看: 239 次纠错分享参与项目词条搜索

实验：用单摆测量重力加速度

1.实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为 $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ，由此得到 $g$ $=\frac{4 \pi^2 l}{T^2}$ ，因此，只要测出摆长 $l$ 和振动周期 $T$ ，就可以求出当地的重力加速度 $g$ 的值。
2. 实验器材

单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。

3.实验过程
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆.
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示.

![图片](/uploads/2024-12/605bcc.jpg)
 
 (3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝　l'+r　　　.
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T.
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度.
(6)改变摆长，重做几次实验.

4. 数据处理
(1)公式法: 利用 $T=\frac{t}{N}$ 求出周期, 算出三次测得的周期的平均值, 然后利用公式 $g=\frac{4 \pi^2 l}{T^2}$ 求重力加速度。
(2)图像法: 根据测出的一系列摆长对应的周期 $T$ ，作 $l-T^2$的图像，由单摆周期公式得 $l=\frac{g}{4 \pi^2} T^2$ ，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率 $k$ ，即可利用 $g=4 \pi^2 k$求重力加速度。
 ![图片](/uploads/2024-12/793671.jpg)
 
 5.注意事项
(1)一般选用一米左右的细线.
(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定.
(3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长.
(4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.
(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数.

`例`某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中：
(1)组装单摆时，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的上端，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示.这样做的目的有 
 ![图片](/uploads/2024-12/9f835d.jpg)
A.保证摆动过程中摆长不变
B.需要改变摆长时便于调节
C.保证摆球在同一竖直平面内摆动

(2)安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图乙所示，则d＝______ mm；
 ![图片](/uploads/2024-12/5e0caf.jpg)
(3)某次实验过程中，用秒表记录时间的起点应该是摆球运动过程中的 _(选填“最高点”或“最低点”)；

(4)该组同学测出五组单摆振动周期T与摆长L的数据如表，请在图丙中作出T2－L关系图像.根据图像算出重力加速度g＝______ m/s2(结果保留3位有效数字).

![图片](/uploads/2024-12/5c5f79.jpg)

(5)若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是__________(写出一个).

解：（1）用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变.上述做法并不能保证摆球在同一竖直平面内摆动，故选A、B.
（2）由题图乙可知摆球直径为d＝18 mm＋9×0.1 mm＝18.9 mm.
（3）摆球在最高点附近运动速度较小，人由于视觉原因不可能精确定位摆球是否经过最高点，由此造成时间测量的相对误差较大.摆球在最低点附近速度较大，因位置判断造成的误差对时间测量的影响较小，所以应在摆球经过最低点时开始计时.

（4）作出 $T^2-L$ 关系图像如图所示.
根据单摆周期公式有 $T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ 变形可得 $T^2=$ $\frac{4 \pi^2 L}{g}$, 所以图像的斜率为 $k=\frac{4 \pi^2}{g}=\frac{3.61}{0.9} s^2 / m$,解得 $g \approx 9.84 m / s ^2$.
 ![图片](/uploads/2024-12/b2e15a.jpg)
 
 （5）本实验通过累积法来测量周期，即测量摆球完成 $n$ 次全振动的总时间
$t$ ，从而求得周期，若计算时不慎将 $n$ 的值记录得偏大，则所测周期偏小，会造成 $g$ 的测量值偏大。
实验时，摆球有时不一定严格在坚直面内运动，而是做圆锥摆运动，在摆角为 8 的情况下，
小球向心力为 $F=m g \tan \theta=m \frac{4 \pi^2}{T^2} L \sin \theta$, 解得 $T=2 \pi \sqrt{\frac{L \cos \theta}{g}}$,
由上式可知摆球做圆锥摆运动时，所测周期比严格做单摆运动时偏小，从而造成 $g$ 的测量值偏大。还有可能在实验过程中，铁夹处摆线出现了松动，使摆长的真实值比测量值偏大，从而造成 $g$ 的测量值偏大.

`例`在 "用单摆测量重力加速度" 的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到 $g=\frac{4 \pi^2 l}{T^2}$ ，只要测出多组单摆的摆长 1 和运动周期 $T$ ，作出 $T^2-l$图像，就可以求出当地的重力加速度，理论上 $T^2$ - 㤏像是一条过坐标原点的直线.

![图片](/uploads/2024-12/1786cb.jpg)
 
 (1)某同学在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图)，以下实验步骤中存在错吴或不当的步骤是  （只填写相应的步骤前的字母即可）.
A. 将石块用细尼龙线系好，结点为 $N$ ，将尼龙线的上端固定于 $O$ 点
B. 用刻度尺测量 $O N$ 间尼龙线的长度 $L$ 作为摆长
C. 将石块拉开一个大约 $5^{\circ}$ 的角度，然后由静止释放
D. 从石块摆到最低点时开始计时，当石块第 30 次到达最低点时结束计时，记录总时间为 $t$ ，由 $T=\frac{t}{30}$ 得出周期
E .改变 $O N$ 间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的 $L$ 和 $T$
F.求出多次实验中测得的 $L$ 和 $T$ 的平均值作为计算时使用的数据，代入公式 $g=$ $\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2 l}$ ，求出重力加速度 $g$

(2)该同学根据实验数据作出的T2－L图像如图所示：
 ![图片](/uploads/2024-12/34cb1e.jpg)
①由图像求出的重力加速度g＝___  m/s2(取π2＝9.87).

②由于图像没有能通过坐标原点，求出的重力加速度g值与当地真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)；若利用g＝　  ，采用公式法计算，则求出重力加速度g值与当地真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”).

解：（1）该同学以上实验步骤中有错误或不当的步骤的是B、D、 $F, B$ 步骤中摆长应是悬点到大理石块重心的距离；D步骤中第30次经过最低点，则此单摆一共完成了 15 个全振动，所以周期为 $T=\frac{t}{15} ; F$ 步骤中必须先分别求出各组 $L$ 和 $T$ 值对应的 $g$ ，再取所求得的各个 $g$ 的平均值。

（2）图像的斜率 $k=\frac{4 \pi}{g}{ }_2=\frac{4.0-0}{[99-(-1)] \times 10^{-2}} s^2 / m =4 s^2 / m$, 所以加速度 $g$ $=9.87 m / s ^2$.

（3）根据 $T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ 得 $T^2=\frac{4 \pi^2 L}{g}$, 根据数学知识可知, $T^2-L$ 图像的斜率 $k=\frac{4 \pi^2}{g}$,则当地的重力加速度 $g=\frac{4 \pi^2}{k}$, 由于图像不通过原点,则 $T^2=\frac{4 \pi^2 l}{g}=\frac{4 \pi^2(L+r)}{g}=\frac{4 \pi^2 L}{g}+\frac{4 \pi^2 r}{g}$,

根据数学知识可知，对于 $T^2-L$ 图像来说两种情况下图像的斜率不变，所以测得的 $g$ 值不变；

经分析可知出现上述图像不过坐标原点的原因是摆长测量值偏小，

若利用 $g=\frac{4 \pi^2 l}{T^2}$ 计算, 则求出的重力加速度 $g$ 值与当地真实值相比偏小.

`例`滑板运动场地有一种常见的圆弧形轨道，其截面如图所示，某同学用一辆滑板车和手机估测轨道半径R(滑板车的长度远小于轨道半径).主要实验过程如下：
 ![图片](/uploads/2024-12/3801eb.jpg)
 (1)用手机查得当地的重力加速度为g；
(2)找出轨道的最低点O，把滑板车从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，用手机测出它完成n次全振动的时间t，算出滑板车做往复运动的
周期T＝___；

(3)将滑板车的运动视为简谐运动，则可将以上测量结果代入R＝_____
(用T、g表示)中计算出轨道半径.

解：（1）滑板车做往复运动的周期 $T=\frac{t}{n}$。
（3）根据单摆的周期公式有 $T=2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$,得 $R=\frac{g T^2}{4 \pi^2}$.

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