最后更新: 2024-12-19 11:21 查看: 105 次反馈刷题

电磁感应中的动力学问题

1.导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态.
处理方法：根据平衡条件列式分析.
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零.
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析.
2.用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤

![图片](/uploads/2024-12/b9ed68.jpg)
 
 3.导体常见运动情况的动态分析

![图片](/uploads/2024-12/f2a6b6.jpg)
 
 `例`如图，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻.线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直.设OO′下方磁场区域足够大，不计空气阻力影响，则下列图像不可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律的是
 ![图片](/uploads/2024-12/b94f32.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-12/349d15.jpg)
  解：线框先做自由落体运动，t1时刻ab边进入磁场做减速运动，加速度逐渐减小，而A图像中的加速度逐渐增大，故A错误；
线框先做自由落体运动，若进入磁场时重力小于安培
力，ab边进入磁场后做减速运动，当加速度减小到零时做匀速直线运动，cd边进入磁场后线框做自由落体运动，加速度为g，故B正确；
线框先做自由落体运动，ab边进入磁场时若重力大于安培力，做加速度减小的加速运动，cd边进入磁场后线框做自由落体运动，加速度为g，故C正确；
线框先做自由落体运动，ab边进入磁场时若重力等于安培力，做匀速直线运动，cd边进入磁场后，线框继续做自由落体运动，加速度为g，故D正确.

`例`(多选)如图所示，U形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力F的作用下，金属杆从静止开始做匀加速直线运动.整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力F的最小值为8 N，经过2 s金属杆运动到导轨最上端并离开导轨.已知U形金属导轨两轨道之间的距离为1 m，导轨电阻可忽略不计，金属杆的质量为1 kg、电阻为1 Ω，磁感应强度大小为1 T，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.下列说法正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/752e60.jpg)
A.拉力F是恒力
B.拉力F随时间t均匀增加
C.金属杆运动到导轨最上端时拉力F为12 N
D.金属杆运动的加速度大小为2 m/s2
解：$t$ 时刻，金属杆的速度大小为 $v=a t$ ，产生的感应电动势为 $E=B l v$ ，电路中的感应电流 $I=\frac{B l v}{R}$,
金属杆所受的安培力大小为 $F_{\text {女 }}=B I l=\frac{B^2 l^2 a t}{R}$,
由牛顿第二定律可知外力 $F=m a+m g \sin 37^{\circ}+\frac{B^2 l^2 a t}{R}, F$ 是 $t$ 的一次函数，选项 A 错误，B正确；
$t=0$ 时， $F$ 最小，代入数据可求得 $a=2 m / s ^2$ ，选项D正确；
$t=2 s$ 时，代入数据解得 $F=12 N$ ，选项C正确。

## “单棒＋电容器”模型
棒的初速度为零，拉力 $F$ 恒定（棒和水平导轨电阻忽略不计，摩察力不计）
如图，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流
 ![图片](/uploads/2024-12/20c599.jpg)
由 $F-B I l=m a, I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}, \Delta Q=C \Delta U, \Delta U=\Delta E=B l \Delta v$,联立可得 $F-\frac{C B^2 l^2 \Delta v}{\Delta t}=m a$ ，其中 $\frac{\Delta v}{\Delta t}=a$ ，则可得 $a=\frac{F}{m+B^2 l^2 C}$
所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动.
功能关系: $W_F=\frac{1}{2} m v^2+E_{\text {电 }}$

`例`如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中始终保持与导轨垂直并接触良好.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
 ![图片](/uploads/2024-12/92d142.jpg)
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系.

解：（1）设金属棒下滑的速度大小为 $v$ ，则感应电动势为 $E=B L v$
平行板电容器两极板之间的电势差为 $U=E$
设此时电容器极板上积累的电荷量为 $Q$ ，
按定义有 $C=\frac{Q}{U}$ ，联立可得 $Q=C B L v$

（2）设金属棒的速度大小为 $v$ 时，经历的时间为 $t$ ，
通过金属棒的电流为 $I$ ，
金属棒受到的磁场力方向沿导轨向上，大小为

$$
F=B L I=C B^2 L^2 a
$$

设在时间间隔 $(t, t+\Delta t)$ 内流经金属棒的电荷量为 $\Delta Q$ ，则 $\Delta Q=C B L \Delta v$按定义有 $I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}, \Delta Q$ 也是平行板电容器极板在时间间隔 $(t, t+\Delta t)$ 内增加的电荷量，
由上式可得， $\Delta v$ 为金属棒的速度变化量，金属棒所受到的摩擦力方向沿导轨斜面向上，大小为 $F_{ f }=\mu F_{ N }$ 式中， $F_{ N }$ 是金属棒对于导轨的正压力的大小，有 $F_{ N }=m g \cos \theta$ ，金属棒在时刻 $t$ 的加速度方向沿斜面向下，设其大小为 $a$ ，
根据牛顿第二定律有 $m g \sin \theta-F-F_{ f }=m a$ ，
即 $m g \sin \theta-\mu m g \cos \theta=C B^2 L^2 a+m a$
联立上式可得 $a=\frac{m(\sin \theta-\mu \cos \theta) g}{m+B^2 L^2 C}$
由题意可知, 金属棒做初速度为零的匀加速运动, $t$ 时刻金属棒的速度大小为 $v=\frac{m(\sin \theta-\mu \cos \theta) g t}{m+B^2 L^2 C}$.

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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