最后更新: 2025-02-09 10:06 查看: 453 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

欧拉公式与推导

## 欧拉公式的推导1

> 要查看《复变函数与积分变换》大学版推导，请点击[欧拉公式证明(复变函数版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1867)

1740年大数学欧拉给出一个著名的公式：欧拉公式。 在高等数学里，有一个[函数展开为幂级数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=449) 并得到两个重要的展开是：
① $e^x$ 的展开式
$$
\mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2 !} x^2+\mathrm{L}+\frac{1}{n !} x^n+\mathrm{L} .
$$

②$\sin x$ 的展开式

$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty)
$$

③逐项求导得 $\cos x$ 的幂级数展式:

$$
\cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty)
$$

对于①式，我们使用$ix$ 带入得到

$$
\begin{aligned}
e^{i x} & =1+\frac{i x}{1!}+\frac{(i x)^2}{2!}+\cdots+\frac{(i x)^n}{n!}+\cdots \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty}(i x)^n n!,(x \in R)
\end{aligned} ...(i)
$$

对于②式,我们用$i^2=-1$替换-1，得到
$$
\begin{aligned}
\cos x=1+ & +\frac{(i x)^2}{2!}+\frac{(i x)^4}{4!}+\cdots+\frac{(i x)^{2 n}}{(2 n)!}+\cdots \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty}(i x)^{2 n},(x \in R)
\end{aligned} ...(ii)
$$ 
对于③式,我们用$i$乘以$sinx$，得到
$$
\begin{aligned}
i \sin x=i x & -\frac{i x^3}{3!}+\frac{i x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n+2} \frac{i x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}+\cdots \\
& =\frac{i x}{1!}+\frac{(i x)^3}{3!}+\frac{(i x)^5}{5!}+\cdots+\frac{(i x)^{2 n+1}}{(2 n+1)!}+\cdots \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty}(i x)^{2 n+1}(2 n+1)!(x \in R)
\end{aligned} ...(iii)
$$

比较(i)(ii)(iii)可以发现
$$
\boxed{
\cos x+i \sin x =e^{ix}
}
$$

进一步的，我们零$x=\pi$ ，同时$cos \pi=-1, sin \pi=0$ 得到
$$
\boxed{
e^{i\pi}+1=0
}
$$

## 欧拉公式的推导2
上面推出的欧拉公式，多少不能时数学家心服口服。比如$e^x$泰勒展开式是从**实数**推出来的，凭什么可以认为，他可以自动应用到**复数**上？或者说$e^x$的复数展开和实数外形一样，是巧合还是历史的必然？

现在数学里，对欧拉公式的推广是通过严谨的数学证明给出。
毫无疑问：在欧拉公式推导的过程中，有2个条件必须满足：

(1)$(e^z)'=e^z$
(2)$f(z_1)f(z_2)=f(z_1+z_2)$
因为既然这是指数运算，当把数从实数扩展到复数时，必须兼容实数指数运算的性质。
再有一个是，$e^z$ 必须满足 [柯西-黎曼](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=851) 方程 ,即
(3)$e^z$函数必须是解析的。

根据上面三个条件可以得到：

证明：设复数 $z=\cos x+i \sin x$ ，
那么
$$
\begin{aligned}
& \frac{d z}{d x}=-\sin x+i \cos x \\
& \frac{d z}{d x}=-\sin x+i \cos x=i(i \sin x+\cos x)
\end{aligned}
$$

即：$\frac{d z}{d x}=i z$
注意到上式是一个可分离变量的微分方程，可得：

$$
\begin{aligned}
& \int \frac{1}{z} d z=\int i d x \\
& z=C e^{\int i d x}, / / \text { 也可参考一阶齐次线性微分方程的通解直接得到 } z=C e^{\int i d x} \\
& z=C e^{i x}
\end{aligned}
$$

考虑到，当 $x=0, z=1+i * 0=1$ ，可知：$z=C e^0=C=1, C=1$ ，即 $z=e^{i x}$

$$
\therefore e^{i x}=(\cos x+i * \sin x)
$$

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