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欧拉公式与推导

## 欧拉公式的推导1

> 要查看《复变函数与积分变换》大学版推导，请点击[欧拉公式证明(复变函数版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1867)

1740年大数学欧拉给出一个著名的公式：欧拉公式。 在高等数学里，有一个[函数展开为幂级数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=449) 并得到两个重要的展开是：
① $e^x$ 的展开式
$$
\mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2 !} x^2+\mathrm{L}+\frac{1}{n !} x^n+\mathrm{L} .
$$

②$\sin x$ 的展开式

$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty)
$$

③逐项求导得 $\cos x$ 的幂级数展式:

$$
\cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty)
$$

对于①式，我们使用$ix$ 带入得到

$$
\begin{aligned}
e^{i x} & =1+\frac{i x}{1!}+\frac{(i x)^2}{2!}+\cdots+\frac{(i x)^n}{n!}+\cdots \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty}(i x)^n n!,(x \in R)
\end{aligned} ...(i)
$$

对于②式,我们用$i^2=-1$替换 $-1$，得到
$$
\begin{aligned}
\cos x=1+ \frac{(i x)^2}{2!}+\frac{(i x)^4}{4!}+\cdots+\frac{(i x)^{2 n}}{(2 n)!}+\cdots \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty}(i x)^{2 n},(x \in R)
\end{aligned} ...(ii)
$$ 
对于③式,我们用$i$乘以$sinx$，得到
$$
\begin{aligned}
i \sin x=i x & -\frac{i x^3}{3!}+\frac{i x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n+2} \frac{i x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}+\cdots \\
& =\frac{i x}{1!}+\frac{(i x)^3}{3!}+\frac{(i x)^5}{5!}+\cdots+\frac{(i x)^{2 n+1}}{(2 n+1)!}+\cdots \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty}(i x)^{2 n+1}(2 n+1)!(x \in R)
\end{aligned} ...(iii)
$$

比较(i)(ii)(iii)可以发现
$$
\boxed{
\cos x+i \sin x =e^{ix}
}
$$

进一步的，我们令 $x=\pi$ ，同时$cos \pi=-1, sin \pi=0$ 得到
$$
\boxed{
e^{i\pi}+1=0
}
$$

## 欧拉公式与三角函数
 
 我们知道：欧拉公式即

$$
e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta ...(2)
$$

如果令 $\theta=2\theta$ 带入上式有
$$
e^{i 2\theta}=\cos 2\theta+i 2\sin \theta, 
$$

从另外一个角度看
$$
e^{i 2\theta}= (e^{i \theta})^2=(\cos \theta+i \sin \theta)^2
$$

两者应该相等，因此，我们有2倍角公式。

#### 二倍角公式
我们先来看倍角公式的推导：将(2)式两边平方，然后实数和实数相等，虚数和虚数相等

$$
\begin{aligned}
\left(e^{i \theta}\right)^2 & =e^{i 2 \theta}=\cos 2 \theta+i \sin 2 \theta \\
& =(\cos \theta+i \sin \theta)^2 \\
& =\left(\cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta\right)+i 2 \sin \theta \cos \theta
\end{aligned}
$$

得到：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 2 \theta=\cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta
\end{array}\right.
$$

这就是二倍角公式。
 
#### 三倍角公式 
同理，
$$
\begin{aligned}
\left(e^{i \theta}\right)^3 & =e^{i 3 \theta}=\cos 3 \theta+i \sin 3 \theta \\
& =(\cos \theta+i \sin \theta)^3 \\
& =\left(4 \cos ^3 x-3 \cos x\right)+i\left(3 \sin x-4 \sin ^3 x\right)
\end{aligned}
$$

得到

$$
\left\{\begin{array}{l}
\sin 3 \theta=3 \sin x-4 \sin ^3 x \\
\cos 3 \theta=4 \cos ^3 x-3 \cos x
\end{array}\right.
$$

即为三倍角公式

#### 两角和与差的三角函数

再看两角

其他版本
【高中数学】附录：平面的欧拉公式【复变函数与积分变换】欧拉公式的证明【高等数学】欧拉方程【离散数学】欧拉图和半欧拉图

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