最后更新: 2025-10-09 20:53 查看: 296 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

特征子空间的几何意义

## 特征子空间的几何意义
由等式 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{a}$ 知道, 如果 $\boldsymbol{a}$ 是特征向量, 那么 $k \boldsymbol{a}$ 也是特征向量 (代到等式验算即可知道)。 $k \boldsymbol{a}$ 是一条直线，直线上的所有向量都是对应特征值 $\lambda$ 的特征向量，直线上的特征向量构成特征向量子空间，称之为**特征子空间**。

当我们把**所有**对应于 $ \lambda $ 的特征向量和**零向量**放在一起时，它就构成了一个子空间：
1.  **包含零向量**：$ A\mathbf{0} = \lambda \mathbf{0} $ 显然成立。
2.  **对加法封闭**：如果 $ \mathbf{v}_1 $ 和 $ \mathbf{v}_2 $ 都是属于 $ V_{\lambda} $ 的向量，那么   $ \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 $ 也在 $ V_{\lambda} $ 中。
3.  **对数乘封闭**：如果 $ \mathbf{v} $ 在 $ V_{\lambda} $ 中，$ k $ 是任意标量，那么 $ A(k\mathbf{v}) = k(A\mathbf{v}) = k(\lambda \mathbf{v}) = \lambda (k\mathbf{v}) $，所以 $ k\mathbf{v} $ 也在 $ V_{\lambda} $ 中。

因此，特征子空间确实是一个**向量子空间**。

特征子空间不一定都是直线。如果一个特征值可以对应或求得两个线性无关的特征向量如 $\boldsymbol{a}_1 、 \boldsymbol{a}_2$, 那么这两个特征向量可以张成一个平面的特征子空间。这个特征平面里的所有向量都是特征向量，因为如果 $\boldsymbol{a}_1 、 \boldsymbol{a}_2$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{a}$ ，那么平面上任一向量 $k_1 \boldsymbol{a}_1+k_2 \boldsymbol{a}_2$ 也满足此式。

类似地，如果一个特征值对应 $S$ 个线性无关的特征向量就是对应一个 $S$ 维的特征子空间。
下面的例子给出了矩阵特征向量的求法及特征向量子空间的几何图形。

`例`求矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
4 & 6 & 0 \\
-3 & -5 & 0 \\
-3 & -6 & 1
\end{array}\right]
$$
的特征值及特征向量, 并说明其几何意义。
解 由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征方程:

$$
|A-\lambda E|=\left[\begin{array}{ccc}
4-\lambda & 6 & 0 \\
-3 & -5-\lambda & 0 \\
-3 & -6 & 1-\lambda
\end{array}\right]=(\lambda+2)(\lambda-1)^2=0
$$

得到特征值 $\lambda_1=-2, \lambda_2=\lambda_3=1$ 。
然后分别求出他的基础解系[基础解系求法见此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=486)

①把 $\lambda_1=-2$ 代入式 $(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 得到齐次线性方程组:

$$
\left\{\begin{array}{l}
6 x_1+6 x_2=0 \\
3 x_1+3 x_2=0 \\
3 x_1+6 x_2-3 x_3=0
\end{array}\right.
$$

它的基础解系为 $\xi=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$。

所以对应于 $\lambda_1=-2, \boldsymbol{A}$ 的全部特征向量为

$$
x=c \xi=c\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
1 
\end{array}\right) \quad(c \neq 0, c \in R )
$$

如图 5-44 所示, 过向量 $\xi$ 作直线 $L$, 则以原点 $o$ 为起点, 以 $L$ 上除 $o$ 点以外的任意点为终点的向量 $c \xi$ 都是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的关于特征值-2 的特征向量。它们全体构成 $\boldsymbol{A}$ 的关于特征值-2的特征向量子空间。此向量空间中的任意向量 $\boldsymbol{x}$ 受矩阵 $\boldsymbol{A}$ 作用后成为向量 $-2 \boldsymbol{x}$, 它仍然位于直线 $L$上, 只是方向与 $\boldsym

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：矩阵的迹

下一篇：矩阵相似

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)