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洛朗定理的证明

## 洛朗定理的证明
 ![图片](/uploads/2025-01/0fcb50.jpg)
 
 证明 如图，在圆环内作两个圆：

$$
\Gamma_1:\left|z-z_0\right|=r, \Gamma_2:\left|z-z_0\right|=R
$$

其中，$R_1<r<R<R_2$ ，
对 $r<\left|z-z_0\right|<R$ 内任一点 $z$ ，
由二连域的柯西积分公式有

$$
\begin{aligned}
f(z) & =\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma_2} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta-\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma_1} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta, \\
& \xlongequal{\text { 记为 }} I_1+I_2 .
\end{aligned}
$$

对第一个积分 $I_1=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma_2} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta$ ， $\zeta$ 在 $\Gamma_2$ 上，$z$ 在 $\Gamma_2$ 内，

$$
\left|\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right|<1
$$

和泰勒展开式一样，可以推得

$$
\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_2} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta=\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_2} \frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{n+1}} d \zeta\right]\left(z-z_0\right)^n
$$

对于第二个积分 $I_2=-\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma_2} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta$ ．由于 $\zeta$ 在 $\Gamma_2$ 上，点 $z$ 在 $\Gamma_1$ 的外部，$\left|\frac{\zeta-z_0}{z-z_0}\right|<1$ ．

因此

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\zeta-z} & =-\frac{1}{z-z_0} \cdot \frac{1}{1-\frac{\zeta-z_0}{z-z_0}}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\zeta-z_0\right)^{n-1}}{\left(z-z_0\right)^n} \\
& =-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(\zeta-z_0\right)^{-n+1}}\left(z-z_0\right)^{-n},
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
I_2 & =-\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma_1} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta \\
& =\sum_{n=1}^{N-1}\left[\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma_1} \frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{-n+1}} d \zeta\right]\left(z-z_0\right)^{-n}+R_N(z)
\end{aligned}
$$

其中 $R _N(z)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma_1}\left[\sum_{n=N}^{\infty} \frac{\left(\zeta-z_0\right)^{n-1} f(\zeta)}{\left(z-z_0\right)^n}\right] d \zeta$ ．
令 $q=\left|\frac{\zeta-z_0}{z-z_0}\right|=\frac{r}{\left|z-z_0\right|}$ ，则 $0<q<1$

因此有 $\left|R_N(z)\right| \leq \frac{1}{2 \pi} \oint \oint_{\Gamma_1}\left[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{|f(\zeta)|}{\zeta-z_0 \mid}\left|\frac{\zeta-z_0}{z-z_0}\right|^n\right] d$

$$
\leq \frac{1}{2 \pi} \sum_{n=N}^{\infty} \frac{M_1}{r} q^n \cdot 2 \pi r=\frac{M_1 q^N}{1-q}
$$

其中，$M_1$ 是 $|f(z)|$ 在 $\Gamma_1$ 上的最大值．
因为 $\lim _{N \rightarrow \infty} q^N \rightarrow 0$ ，所以 $\lim _{N \rightarrow \infty} R_N(z)=0$ ．

$$
\begin{aligned}
&\text { 因此 } f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n\left(z-z_0\right)^n+\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}\left(z-z_0\right)^{-n}\\
&\begin{aligned}
= & \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\left(z-z_0\right)^n,  ...(4.4.5)\\
c_n & =\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_2} \frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{n+1}} d \zeta,(n=0,1,2, \cdots)  ...(4.4.6)\\
c_{-n} & =\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_1} \frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{-n+1}} d \zeta,(n=1,2, \cdots)  ...(4.4.7)
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

级数（4．4．5）的系数由不同的式子（4．4．6）与（4．4．7）表出．如果在圆环域内取绕 $z_0$ 的任何一条正向简单闭曲线 $C$ ，则根据闭路变形原理，这两个式子可用一个式子来表示：

$$
c_n=\frac{1}{2 \pi i} \int_C \frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{n+1}} d \zeta,(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 即 } f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\left(z-z_0\right)^n, \\
& c_n=\frac{1}{2 \pi i} \int_C \frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{n+1}} d \zeta,(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) .
\end{aligned}
$$

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