最后更新: 2026-02-18 09:50 查看: 81 次纠错评论(0) 课件开VIP

洛朗展开例题

## 洛朗级数到底是啥？

你可以把它理解成：
  **带“负幂次”的泰勒级数。**
  专门用来描述 函数在奇点附近长啥样。
 
**泰勒级数是干嘛的？**
泰勒级数： 只写 **z⁰、z¹、z²、z³……**
只能描述 函数正常、光滑、没奇点 的地方。
但如果函数在某点炸了、无穷大、不解析，
泰勒就废了。

**洛朗级数 = 泰勒 + 负幂次**
洛朗多了一堆：**z⁻¹、z⁻²、z⁻³……**
这些负幂次，就是用来描述：
函数在奇点附近“爆炸”的样子。

## 洛朗展开例题
**定理**  设 $\sum_{j=0}^{\infty} c_j\left(z-z_0\right)^j$ 和 $\sum_{j=1}^{\infty} c_{-j}\left(z-z_0\right)^{-j}$ 是任意两个具有如下性质的级数：
（i）当 $\left|z-z_0\right|<R$ 时，$\sum_{j=0}^{\infty} c_j\left(z-z_0\right)^j$ 收敛．
（ii）当 $\left|z-z_0\right|>r$ 时，$\sum_{j=1}^{\infty} c_{-j}\left(z-z_0\right)^{-j}$ 收敛．
（iii）$r<R$ ．
则存在 $r<\left|z-z_0\right|<R$ 内解析的函数 $f(z)$ ，它在这个圆环内的洛朗级数为 $\sum_{j=-\infty}^{\infty} c_j\left(z-z_0\right)^j$ ．

`例` 最简单的洛朗展开
$$
f(z)=\frac{1}{z},\quad 0<|z|<\infty
$$

**展开：**
$$
f(z) = \frac{1}{z} = z^{-1}
$$

这就是**只有负一次幂**的洛朗级数。
👉 说明 $z=0$ 是**一阶极点**。

`例` 最常考的标准型（必背）
$$
f(z)=\frac{1}{1-z}
$$

情况A：$|z|<1$（泰勒，正常区域）
$$
\frac{1}{1-z} = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots
$$

情况B：$|z|>1$（洛朗，奇点外区域）
先变形：
$$
\frac{1}{1-z} = -\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}
$$
因为 $|z|>1 \Rightarrow |\frac1z|<1$，可以展开：
$$
\frac{1}{1-z}
= -\frac1z\left(1+\frac1z+\frac1{z^2}+\cdots\right)
= -\frac1z - \frac1{z^2} - \frac1{z^3} - \cdots
$$

👉 这就是**全是负幂**的洛朗级数。

---

`例` 最经典考题（两个奇点）
$$
f(z)=\frac{1}{z(1-z)}
$$

区域1：$\boldsymbol{0<|z|<1}$
$$
f(z)=\frac1z + \frac{1}{1-z}
= \frac1z + 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots
$$

👉 有 $z^{-1}$ 项，是**洛朗级数**。

区域2：$\boldsymbol{1<|z|<\infty}$
$$
\frac{1}{1-z} = -\frac1z - \frac1{z^2} - \frac1{z^3} - \cdots
$$
所以：
$$
f(z) = \frac1z - \frac1z - \frac1{z^2} - \frac1{z^3} - \cdots
= -\frac1{z^2} - \frac1{z^3} - \cdots
$$

---

`例` 带指数的标准洛朗展开
$$
f(z)= \frac{e^{1/z}}{z}
$$

已知：
$$
e^w = 1 + w + \frac{w^2}{2!} + \frac{w^3}{3!} + \cdots
$$
令 $w=\frac1z$：
$$
e^{1/z} = 1 + \frac1z + \frac1{2!\,z^2} + \frac1{3!\,z^3} + \cdots
$$
所以：
$$
\frac{e^{1/z}}{z}
= \frac1z + \frac1{z^2} + \frac1{2!\,z^3} + \frac1{3!\,z^4} + \cdots
$$

## 例题

`例`在 $1<|z|<\infty$ 的环域上将函数 ${f}(z)=\frac{1}{z^2-1}$ 展开为洛朗级数

解： 我们在环域 $1<|z|<\infty$ 上把
$$
f(z)=\frac{1}{z^2-1}
$$
展成**洛朗级数**。

**1. 变形**，凑成 $\left|\dfrac{1}{z}\right|<1$
因为 $|z|>1$，所以
$$
\left|\frac{1}{z}\right|<1
$$
把分母提出 $z^2$：
$$
f(z)=\frac{1}{z^2\left(1-\dfrac{1}{z^2}\right)}
= \frac{1}{z^2}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{1}{z^2}}
$$

**2. 用几何级数展开**
几何级数：
$$
\frac{1}{1-\zeta} = \sum_{n=0}^\infty \zeta^n,\quad |\zeta|<1
$$
令
$$
\zeta = \frac{1}{z^2}
$$
则
$$
\frac{1}{1-\dfrac{1}{z^2}}
= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{z^2}\right)^n
= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z^{2n}}
$$

**3. 合起来**
$$
f(z)
= \frac{1}{z^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z^{2n}}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z^{2n+2}}
$$

换个指标更标准：令 $k = n+2$，则 $n=k-2$，
$$
f(z) = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{z^k},\quad k\text{ 取偶数}
$$
也可以直接写成：
$$
f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z^{2n}},\quad 1<|z|<\infty
$$

**结论：**
$$
f(z)=\frac{1}{z^2-1}
= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^4}+\frac{1}{z^6}+\cdots
= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{z^{2n}},\quad 1<|z|<\infty
$$

`例`在$z_0=1$的环域上将函数 ${f}(z)=\frac{1}{z^2-1}$  展开为洛朗级数解：

解：我们一步一步来把
$$
f(z)=\frac{1}{z^2-1}
$$
在 **$z_0=1$** 的**环域**上展成**洛朗级数**。

**1. 分解分式**
$$
f(z)=\frac{1}{z^2-1}
= \frac{1}{(z-1)(z+1)}
= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z+1} \right)
$$

我们要在 $z_0=1$ 展开，所以令：
$$
w = z-1 \quad\Rightarrow\quad z = 1+w
$$

代入第二项：
$$
z+1 = (1+w)+1 = 2+w = 2\left(1+\frac{w}{2}\right)
$$

于是：
$$
f(z)
= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{w}
- \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\left(1+\frac{w}{2}\right)}
= \frac{1}{2w} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+\frac{w}{2}}
$$

**2. 几何级数展开**
几何级数：
$$
\frac{1}{1+\zeta} = \sum_{n=0}^\infty (-\zeta)^n,\quad |\zeta|<1
$$
这里
$$
\zeta = \frac{w}{2} = \frac{z-1}{2}
$$
所以在环域
$$
0 < |z-1| < 2
$$
内有：
$$
\frac{1}{1+\frac{w}{2}}
= \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{w}{2}\right)^n
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}(z-1)^n
$$

**3. 合并写出洛朗级数**
$$
f(z)
= \frac{1}{2(z-1)}
- \frac{1}{4}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}(z-1)^n
$$
$$
= \frac{1}{2(z-1)}
+ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+2}} (z-1)^n
$$

**最终结果（洛朗级数）**
$$ 
f(z)
= \frac{1}{2(z-1)}
+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+2}} (z-1)^n
,\quad 0<|z-1|<2
$$

`例`  求函数 $ \frac{z^2-2 z+3}{z-2}$ 在区域 $|z-1|>1$ 内的洛朗级数．

解 注意在区域 $|z-1|>1$ 内，函数  $\frac{z^2-2 z+3}{z-2}$ 仅以 $z=2$ 为奇点。首先将 $\frac{1}{z-2}$ 变形，以便我们可以在区域 $|z-1|>1$ 内应用几何级数的结果：

$$
\frac{1}{z-2}=\frac{1}{(z-1)-1}=\frac{1}{z-1} \cdot \frac{1}{1-1 /(z-1)} .
$$

所以，对 $|z-1|>1$ ，

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{z-2} & =\frac{1}{z-1} \cdot \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^j} \\
& =\frac{1}{z-1}+\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{1}{(z-1)^3}+\cdots
\end{aligned}
$$

将分母 $z^2-2 z+3$ 表示成 $z-1$ 的幂：
 
 $$
 \begin{aligned}
&z^2-2 z+3=(z-1)^2+0 \cdot(z-1)+2=(z-1)^2+2\\
&\text { 因此 }\\
&\begin{aligned}
\frac{z^2-2 z+3}{z-2} & =\left[(z-1)^2+2\right] \cdot\left[\frac{1}{z-1}+\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{1}{(z-1)^3}+\cdots\right] \\
& =\left[(z-1)+1+\frac{1}{(z-1)}+\frac{1}{(z-1)^2}+\cdots\right]+\left[\frac{2}{(z-1)}+\frac{2}{(z-1)^2}+\cdots\right] \\
& =(z-1)+1+\sum_{j=1}^{\infty} \frac{3}{(z-1)^j}
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

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