最后更新: 2025-01-21 17:13 查看: 50 次反馈刷题

汉密尔顿图

历史背景：汉密尔顿周游世界问题
汉密尔顿周游世界问题——从正十二面体的一个顶点出发，沿着棱前进，经过全部的二十个顶点一次且仅一次，最后回到出发点。

![图片](/uploads/2025-01/3b7af5.jpg)
 
 定义7-4.3 给定图G，若存在一条路，经过所有的结点一次且仅一次，称为汉密尔顿路；若存在经过图中所有结点一次并且仅一次的回路称为汉密尔顿回路。
具有哈密尔顿回路的图称为汉密尔顿图
具有哈密顿路但不具有哈密顿回路的图称为半汉尔密顿图

例7-4.4 判断下图是否(半)汉密尔顿图
 ![图片](/uploads/2025-01/40fd5d.jpg)
 (1)(2)是汉密尔顿图。
(3)是半汉密尔顿图。
(4)既不是汉密尔顿图，也不是半汉密尔顿图。

定理7－4．3 设无向图 $G=\langle V, E\rangle$ 是汉密尔顿图，对于任意 $S \subset V$ ，且 $S \neq \varnothing$ ，均有 $W ( G -S) \leq|S|$ ，即G－S连通分支数不超过 $S$ 结点数。

证明 设 C 为 G 中任意一条汉密尔顿回路，
1）当 $S$ 中顶点在 $C$ 上均不相邻时，$W(C-S)$ 达到最大值 $|S|$ ，
2）当 $S$ 中结点在 $C$ 上有相邻的情况时，均有 $W(C-S)<|S|$ ，所以有 $W ( G - S ) \leq| S |$ 。

而C是 G 的生成子图，所以有 $W ( G - S ) \leq W ( C - S ) \leq| S |$ 。
说明 本定理的条件是汉密尔顿图的必要条件，但不是充分条件。若一个图不满足定理中的条件，它一定不是汉密尔顿图。

例7-4.5 证明：若G中有割点或桥，则G不是哈密顿图。
证明（1）证明若 $G$ 中有割点，则 $G$ 不是哈密顿图。
设 $v$ 为连通图 $G$ 中一个割点，则 $V^{\prime}=\{v\}$ 为 $G$ 中的点割集，而

$$
p\left(G-V^{\prime}\right) \geq 2>1=\left|V^{\prime}\right|
$$

由定理15．6可知 $G$ 不是哈密顿图。
（2）证明若 $G$ 中有桥，则 $G$ 不是哈密顿图。
设 $G$ 中有桥，$e=(u, v)$ 为其中的一个桥。
若 $u, v$ 都是悬挂边，则 $G$ 为 $K 2, ~ K 2$ 不是哈密顿图。
若 $u, v$ 中至少有一个，比如 $u, d(u) \geq 2$ ，由于 $e$ 与 $u$ 关联，$e$ 为桥，所以 $G-u$ 至少产生两个连通分支，于是 $u$ 为 $G$ 中割点。
由（1）的讨论可知，$G$ 不是哈密顿图。

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