最后更新: 2025-01-22 09:02 查看: 160 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

容斥原理

容斥原理（也称为包含排斥原理）是一个基本的计数原理，它在概率论和数论中也经常使用。

定理 6.12 设 $A, B$ 为有限集合，则有

$$
|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|
$$

证明：因为 $A \cup B=A \cup(B-A)$ ，而 $A \cap(B-A)=\varnothing, B=(A \cap B) \cup(B-A),(A \cap B)$ $\cap(B-A)=\varnothing$ ，所以由加法原理 $|A \cup B|=|A|+|B-A| ;|B|=|A \cap B|+|B-A|$ ，后式代入前式即得 $|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|$ 。

进一步，此定理可推广到 $n$ 个有限集合。
定理 6.13 设 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 为有限集合，则

$$
\left|U_{i=1}^n A_i\right|=\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i<j}\left|A_i \cap A_j\right|+(-1)^{n-1}\left|A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n\right|
$$

证明留作习题。
推论 6.7 设 $S$ 是一个有限集，$P_1, P_2, \cdots, P_n$ 是集合 $S$ 中元素可能具有的 $n$ 种性质，$A_1$ ， $A_2, \cdots, A_n$ 分别是 $S$ 中具有性质 $P_1, P_2, \cdots, P_n$ 的元素全体构成的集合，即 $A_i \subseteq S$ ，则 $S$ 中不具有性质 $P_1, P_2, \cdots, P_n$ 的元素个数为

$$
\begin{aligned}
& \left|\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap \cdots \cap \bar{A}_n\right| \\
& =|S|-\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|+\sum_{i<j}\left|A_i \cap A_j\right|-\cdots+(-1)^n\left|A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n\right|
\end{aligned}
$$

例6．13 某系有 100 个学生至少要学法，德，英 3 种语言中的一种。现在这 100 个学生中有 42 人学法语， 45 人学德语， 65 人学英语， 15 人学法语和德语， 20 人学法语和英语， 25 人学德语和英语。问同时学 3 种语言的有多少？仅学英语的有多少？

解：令 $A, B, C$ 分别表示学法语，德语，英语学生的集合。则 $|A|=42,|B|=45,|C|=65, \mid A$ $\cap B|=15,|A \cap C|=20,|B \cap

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