最后更新: 2025-01-22 09:44 ● 参与者查看: 13 次纠错分享参与项目词条搜索

最小生成树

定义 10.10 （最小生成树）设 $G(V, E, \omega)$ 是带权连通简单图，$\omega$ 是从 $E$ 到正实数集的函数。又设 $T$ 是 $G$ 的一棵生成树，$T$ 中所有枝的权之和称为 $T$ 的权，记为 $W(T)=\sum_{\{i, j\} \in T} \omega(i, j)$ 。具有权 $\min _T W(T)$ 的生成树称为最小生成树。

如图 10.2 所示，图（a）给出带权连通简单图，图（b）为其最小生成树。

本节将给出在给定的一个带权连通图中求最小生成树的算法。这个问题是具有实际意义的。例如，$G$ 中的点表示城市，边表示城市间的道路，边的权表示对应道路的长度，现在我们沿着道路架设通信线路，将这些城市联系起来，要求架设的线路最短，这个问题就是求一棵最小生成树的问题。

下面我们介绍一种求最小生成树的克鲁斯科尔（Kruskal）算法。先看一个例子。
例10．1 求图 10.3 中带权连通图 $G(V, E, \omega)$ 的最小生成树。克鲁斯科尔算法的步骤，通俗地说，就是先将 $G$ 中的边按权从小到大顺序排列，再从小到大依次取出每一边作检查。—开始取权最小的边，由该边导出一个部分子图，然后依次每取一边加入已得的部分子图。若保持无回路，将该边与原有部分子图中的边导出一个新的部分子图；若得到回路，将该边放弃。上述过程继续进行，直到所有边均检查完，得到的生成子图就是所求的最小生成树，过程如图 10.3 所示。
 ![图片](/uploads/2025-01/904825.jpg)
 
 克鲁斯科尔算法：设 $G(V, E, \omega)$ 是有 $n$ 个顶点的带权连通简单图。
（1）在 $G$ 中选一边 $e_1$ ，使 $\omega\left(e_1\right)$ 最小，令 $E_1=\left\{e_1\right\}, 1 \rightarrow i$ 。
（2）若已选出 $E_i=\left\{e_1, e_2, \cdots, e_i\right\}$ ，那么从 $E-E_i$ 中选取一边 $e_{i+1}$ ，满足：
（1）$E_i \cup\left\{e_{i+1}\right\}$ 的导出子图中不含回路。同时
（2）$\omega\left(e_{i+1}\right)$ 为最小。
（3）若 $e_{i+1}$ 存在，则令 $E_{i+1}=E_i \cup\left\{e_{i+1}\right\}, i+1 \rightarrow i$ ，转（2）；若 $e_{i+1}$ 不存在，则停，此时 $E_i$ 导出的子图就是所求的最小生成树，记为 $T_{\text {。 }}$

现在来证明上述算法的正确性。
定理 10.8 克鲁斯科尔算法所得到的图 $T$ 是最小生成树。
证明：首先证明由定理10．1等价定义（4）便知 $T$ 是 $G$ 的一棵生成树。并由等价定义（2）可知边数为 $n-1$ 。

下面证明 $T$ 是最小生成树即可。用反证法证明，假设 $T$ 不是 $G$ 的最小生成树，而 $S$ 是 $G$ 的最小生成树，并且 $W(S)<W(T)$ 。在生成树 $T$ 中有 $n-1$ 条边，按权从小到大的顺序排列为 $e_1, e_2, \cdots$ ， $e_k, \cdots, e_{n-1}$ 。若 $e_k$ 是不在 $S$ 中的第一条边，也就是说 $e_1, e_2, \cdots, e_{k-1}$ 是 $S$ 和 $T$ 的公共边。现在对 $S$ 进行基本变换，在 $S$ 中加边 $e_k$ 得到一条基本回路，记为 $C$ ，在 $C$ 中必有一边 $e^{\prime} \in S$ ，但 $e^{\prime} \notin T$ ，否则 $T$ 中有回路，导致矛盾。再从 $S \cup e_k$ 中删去 $e^{\prime}$ ，得到生成树 $S^{\prime}$ ，由于 $w\left(e_k\right) \leqslant w\left(e^{\prime}\right)$ ，所以 $W\left(S^{\prime}\right) \leqslant W(S)$ ，
并且 $S^{\prime}$ 与 $T$ 的公共边比 $S$ 与 $T$ 的公共边多一条。重复上述过程，每一步作一次树的基本变换，使总权数减少，最后生成树 $S$ 变换到生成树 $T$ ，且 $W(T) \leqslant W(S)$ ，与假设 $W(S)<W(T)$ 相矛盾。

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