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离散数学
第六章 树
网络最大流
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更新:
2025-01-22 10:08
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网络最大流
运输问题是把商品从产地运往市场,运输的路线用有向图表示,用一个顶点表示产地,另一个顶点表示市场,其他顶点表示中转站,每条弧表示一段运输路线。在每段路线上给定运输能力的条件下,试设计一个运输方案,使得运输速率最大,即单位时间的运输量最大。 定义 11.7 (网络)设连通无自环的带权有向图中有两个不同顶点 $s$ 和 $t$ ,且在弧集 $E$ 上定义一个非负整数值函数 $C=\left\{c_{i j}\right\}$ ,称该有向图为网络,记为 $N(V, E, C)$ 。称 $s$ 为发点,$t$ 为收点,除 $s$ 和 $t$ 以外其他顶点称为中间点。 $C$ 称为容量函数,弧 $(i, j)$ 上的容量为 $c_{i j}$ 。 定义 11.8 (流量)在网络 $N(V, E, C)$ 的弧集 $E$ 上定义一个非负整数值函数 $f=\left\{f_{i j}\right\}$ ,称 $f$为网络 $N$ 上的流,$f_{i j}$ 称为弧 $(i, j)$ 上的流量。若无弧 $(i, j)$ ,则 $f_{i j}$ 定义为 0 。设流 $f$ 满足下列条件。 (1)容量限制条件:对每一条弧 $(i, j)$ ,有 $f_{i j} \leqslant c_{i j}$ 。 (2)平衡条件:除 $s$ 和 $t$ 外的每个中间点 $k$ ,有 $\sum_{i \in V} f_{k i}=\sum_{j \in \ell} f_{j k}$ ,对于 $s$ 和 $t$ 有 $$ \sum_{i \in V} f_{k i}-\sum_{j \in V} f_{j k}=\left\{\begin{array}{cc} V_f & k=s \\ -V_f & k=t \end{array}\right. $$ 则称 $f$ 为网络 $N$ 的一个可行流,$V_f$ 为流 $f$ 的值,或称 $f$ 的流量。若 $N$ 中无可行流 $f^{\prime}$ ,使 $V_f^{\prime}>V_f$
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