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数项级数与p级数

## 序言
早在大约公元前 450 年，古希腊有一位名叫芝诺Zeno的学者，曾提出“阿喀琉斯追赶乌龟”的较为著名的一个悖论。

设乌龟在 阿喀琉斯 前面 $S_1$（米）处向前爬行，阿喀琉斯 在后面追赶，阿喀琉斯 $t_1$ （秒）时间，跑完 $S_1$（米）时，乌龟已向前爬了 $S_2$（米）；当 阿喀琉斯再用 $t_2$（秒）时间，跑完 $S_2$（米）时，乌龟又向前爬了 $S_3$（米）$\cdots \cdots$ 这样的过程可以一直继续下去，因此 阿喀琉斯 永远也追不上乌龟。

![图片](/uploads/2025-11/5d305d.jpg){width=400px}
 
 
显然，这一结论完全有悖于常识，是绝对荒谬的．没有人会怀疑，阿喀琉斯 必将在 $T$ （秒）时间内，跑了 $S$（米）后追上乌龟（ $T$ 和 $S$ 是常数）．Zeno 的诡辩之处就在于把有限的时间 $T$（或距离 $S$ ）分割成无穷段 $t_1, t_2, \cdots$（或 $S_1, S_2, \cdots$ ），然后一段一段地加以叙述，从而造成一种假象：这样＂追一爬一追一爬＂的过程将随时间的流逝而永无止境。事实上，如果将用掉的时间 $t_1, t_2, \cdots$（或跑过的距离 $S_1, S_2, \cdots$ ）加起来，即

$$
t_1+t_2+\cdots+t_n+\cdots \quad\left(\text { 或 } S_1+S_2+\cdots+S_n+\cdots\right) \text {, }
$$

尽管相加的项有无限个，但它们的和却是有限数 $T$（或 $S$ ）．换言之，经过时间 $T$（秒）， Achilles跑完 $S$（米）后，他已经追上乌龟了。

这里，我们遇到了无限个数相加的问题．很自然地，我们要问，这种＂无限个数相加＂是否一定有意义？若不一定的话，那么怎么来判别？有限个数相加时的一些运算法则，如加法交换律、加法结合律对于无限个数相加是否继续有效？如此等等．这正是本章要讨论的数项级数的一些概念．

## 数项级数
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots$ 是无穷可列个实数，我们称它们的＂和＂

$$
x_1+x_2+\cdots+x_n+\cdots
$$

为**无穷数项级数**（简称**级数**），记为 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ ，其中 $x_n$ 称为级数的**通项**或**一般项**。
当然，我们无法直接对无穷多个实数逐一地进行加法运算，所以必须对上述的级数求和给出合理的定义．为此作级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 的＂部分和数列＂$\left\{S_n\right\}$ ：

$$
\begin{aligned}
& S_1=x_1, \\
& S_2=x_1+x_2, \\
& S_3=x_1+x_2+x_3, \\
& \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& S_n=x_1+x_2+\cdots+x_n=\sum_{k=1}^n x_k, \\
& \quad \cdots \cdots \cdots \cdots
\end{aligned}
$$

**定义**  如果部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 收敛于有限数 $S$ ，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 收敛，且称它的和为 $S$ ，记为

$$
S=\sum_{n=1}^{\infty} x_n  
$$

如果部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 发散，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\inf

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