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基本概念与柯西收敛准则

## 14.1.1 基本概念回顾
在第二章的 $\S 2.1 .6, \S 2.3 .4$ 等处已经对无穷级数作了初步介绍．以下列举该两小节的主要内容，然后作适当补充。

1．无穷级数的定义和基本概念，其中包括通项，部分和，部分和数列，级数的收玫与发散，以及收玫级数的和等。

2．对给定的数列，可以构造一个无穷级数，使得它的部分和数列就是给定的数列．这说明，研究数列和级数在本质上是一回事．

3．级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 $\Longrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$（定理 2．8）．
4．对于非负项级数，其部分和数列单调增加，因此只有两种可能性，即级数的和为有限数或为 $+\infty$（定理 2．18）。

5．通过对级数的部分和数列用 Cauchy 收玫准则，得到了无穷级数的 Cauchy收玫准则（定理 2．24）．为方便起见，在这里重新列出如下．

定理 14.1 （无穷级数的 Cauchy 收敛准则）无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收玫的充分必要条件是对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N, \forall p \in N$ ：
$$
\left|u_{n+1}+\cdots+u_{n+p}\right|<\varepsilon .
$$

6．已经讨论了几个具体的级数，其中特别重要的有
（1）几何级数 $1+x+\cdots+x^n+\cdots$ 收玫的充分必要条件是 $|x|<1$ ，这时级数的和为 $\frac{1}{1-x}$（例题 2．10）；
（2）调和级数 $1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots$ 发散（例题 2.32 ）；
（3）数 e 的无穷级数展开： $e =1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots$（定理 2.19 ，例题 7．9）．

以下补充几点．从级数与数列的联系就容易证明以下几个结论，它们在今后都会经常用到．

7．若两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收玫时，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+b_n\right)$ 收敛，且

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+b_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n+\sum_{n=1}^{\infty} b_n
$$

又若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收玫，$c$ 为常数，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c a_n$ 也收玫，且 $\sum_{n=1}^{\infty} c a_n=c \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ．
8．若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 中一个收玫，一个发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+b_n\right)$ 发散．
9．将级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 改变或去掉前有限项后其敛散性不变．因此今后在判别一个无穷级数的玫散性时，可以不顾前面的有限多项，而只考虑从某一项开始的所有项具有什么性质。这对于下面的判别法特别重要。

将上述最后一点加以引申，我们引入无穷级数的余项概念．
定义 14.1 对于收玫级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ ，称 $r_n=\sum_{k=n+1}^{\infty} u_k$ 为级数的第 $n$ 个余项．
注 由于每个 $r_n$ 都是一个无穷级数之和，它是从原来的级数去掉前 $n$ 项后得到的级数，因此只有当该级数收玫时余项才有意义。从定义可见有

$$
r_n=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(S_{n+k}-S_n\right)=S-S_n
$$

如果是通过计算部分和来求级数和的近似值，则对余项的估计就有可能确定误差的范围。

前面已经看到与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 有关的有两个数列，即由其通项组成的数列 $\left\{u_n\right\}$和级数的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ ．现在又有与级数有关的第三个数列，即由余项组成的数列 $\left\{r_n\right\}$ ，但它只对于收玫数列有意义，且一定有 $r_n=o(1)$ ．
作为复习，我们看下面的例子，并举出几个不同解法，其中的前两个解法都在第一册见过。它们是进一步发展各种方法的起点。

例题 14.1 证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛．
证1（见例题 2．33）由于这是非负项级数，因此只要证明其部分和数列有上界．利用 $\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1) n} \forall n \geqslant 2$ ，就可以估计如下：

$$
\begin{aligned}
S_n & =1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} \\
& <1+\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1) n}=2-\frac{1}{n}<2
\end{aligned}
$$

可见级数收玫，且知道其和不超过 2 ．
注 今后会证明这个级数的和为 $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$ ，这是一个有用的结果。
证 2 （见例题 2．40）用 Cauchy 收敛准则，从

$$
\begin{aligned}
\left|\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+p)^2}\right| & <\frac{1}{n(n+1)}+\cdots+\frac{1}{(n+p-1)(n+p)} \\
& <\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}<\frac{1}{n}
\end{aligned}
$$

可见对 $\forall \varepsilon>0$ ，只要取 $N>\frac{1}{\varepsilon}$ ，就保证对每个 $n \geqslant N$ 和每个正整数 $p$ ，上式小于 $\varepsilon$ ，因此级数收玫．

证 3 对于 $n>1$ ，有不等式

$$
\frac{1}{n^2}<\int_{n-1}^n \frac{d x}{x^2}
$$

因此可以用积分估计出部分和数列有上界：

$$
S_n<1+\int_1^n \frac{d x}{x^2}=1+\left.\left(-\frac{1}{x}\right)\right|_1 ^n=2-\frac{1}{n}<2
$$

方法的比较 第一个证明最简单，只依赖于 $n^2>n(n-1)$ ．这里重要的是连锁消去法，即如果能有 $0 \leqslant u_n \leqslant v_{n+1}-v_n \forall n$ ，且 $\left\{v_n\right\}$ 有上界，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。

第二个证明是用 Cauchy 收敛准则．它是收敛的充要条件，但使用比较复杂（可回顾 $\S 2.4 .2$ ） ．

第三个证明利用积分．上面的估计依赖于广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{ d x}{x^2}$ 收敛．这将发展成为 $\S 14.2 .5$ 中的 Cauchy 积分判别法．

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