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对称性在积分计算中的应用

## 10.4.3 对称性在积分计算中的应用
设积分区间关于原点对称，例如为 $[-a, a](a>0)$ ，则容易知道，当被积函数 $f$是奇函数，即其图像关于原点为中心对称时，就有 $\int_{-a}^a f(x) d x=0$ ；而当 $f$ 为偶函数，即其图像关于 $y$ 轴为对称时，就有 $\int_{-a}^a f(x) d x=2 \int_0^a f(x) d x$ ．

如果将以上的对称性进一步推广，则对于某些积分的计算是很有好处的．下面我们会看到利用对称性可以计算出被积函数没有初等原函数的某些定积分．

首先可以注意到，在区间 $[a, b]$ 上有定义的任意函数 $f(x)$ ，如果将自变量换为 $a+b-x$ 之后的函数记为 $g(x)=f(a+b-x)$ ，则两者的图像关于区间 $[a, b]$ 的中点 $\frac{a+b}{2}$ 就具有对称性：

$$
g(x)=f(a+b-x)=f\left(\frac{a+b}{2}+\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right) .
$$

在 $f \in R[a, b]$ 时不难证明

$$
\int_a^b f(x) d x=\int_a^b f(a+b-x) d x .
$$

实际上只要对于右边的积分作代换 $t=a+b-x$ ，并最后将 $t$ 再记为 $x$ 即可：

$$
\int_a^b f(a+b-x) d x=-\int_b^a f(t) d t=\int_a^b f(x) d x
$$

下面我们主要关心在区间 $[0, a]$ 上有定义的函数的对称性．从上面的结果可见，若 $f \in R[0, a]$ ，则有

$$
\int_0^a f(x) d x=\int_0^a f(a-x) d x .
$$

对于在 $[0, a]$ 上不一定具有上述两种对称性的可积函数，可以用以下方法生成在 $[0, a]$ 上关于直线 $x=a / 2$ 的偶函数．这对于某些积分的计算是有用的．

定理 10.18 设 $f$ 在 $[0, a]$ 上可积，则成立

$$
\int_0^a f(x) d x=\int_0^{a / 2}[f(x)+f(a-x)] d x .
$$

证 由于 $g(x)=f(x)+f(a-x)$ 关于点 $a / 2$ 为偶函数，因此只要联合使用等式（10．14）和定理 10.17 即可有

$$
\int_0^a f(x) d x=\frac{1}{2}\left(\int_0^a f(x) d x+\int_0^a f(a-x) d x\right)=\int_0^{a / 2}[f(x)+f(a-x)] d x .
$$

注 实际上定理 10.18 和公式（10．15）已经覆盖了前两个定理的结论．此外，当然还可以将（10．15）推广到更一般的区间上，得到

$$
\int_a^b f(x) d x=\int_a^{\frac{a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)] d x
$$

例题 10.36 计算 $I=\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$ ．

解 根据（10．15）先计算其中的被积函数

$$
\frac{\sin x}{1+\cos ^2 x}+\frac{(\pi-x) \sin (\pi-x)}{1+\cos ^2(\pi-x)}=\frac{\pi \sin x}{1+\cos ^2 x}
$$

因此就有

$$
I=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x d x}{1+\cos ^2 x}=-\left.\pi \arctan (\cos x)\right|_0 ^{\pi / 2}=\frac{\pi^2}{4}
$$

下一个例题在今后的 Fourier 系数计算中有用．

例题 10.37 设 $f \in R[-\pi, \pi]$ 为偶函数，且在 $[0, \pi]$ 上关于点 $\pi / 2$ 为奇函数，证明：对每个正整数有

$$
I=\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos 2 n x d x=0 .
$$

证 由于被积函数 $f(x) \cos 2 n x$ 是偶函数，因此 $I=2 \int_0^\pi f(x) \cos 2 n x d x$ ．在区间 $[0, \pi]$ 上则从

$$
f(\pi-x) \cos 2 n(\pi-x)=-f(x) \cos 2 n x
$$

可见被积函数关于点 $\pi / 2$ 是奇函数．用定理 10.16 即得所要的结论．
注 直接证明则可作代换 $t=\pi-x$ 如下：

$$
\begin{aligned}
\int_0^\pi f(x) \cos 2 n x d x & =\int_\pi^0 f(\pi-t) \cos 2 n(\pi-t) d(\pi-t) \\
& =\int_0^\pi(-f(t)) \cos 2 n t d t=-\int_0^\pi f(x) \cos 2 n x d x
\end{aligned}
$$

可见该积分等于 0 ．

例题 $1 0 . 3 8$ 计算 $I=\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{1+x^2} d x$ ．
解 作代换 $x=\tan t, d x=\sec ^2 t d t$ ，就得到

$$
I=\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{1+x^2} d x=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan t) d t
$$

用公式（10．15）计算上式右边的积分．先计算其被积函数为

$$
\begin{aligned}
\ln (1+\tan t) & +\ln \left[1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-t\right)\right] \\
& =\ln (1+\tan t)+\ln \left(1+\frac{1-\tan t}{1+\tan t}\right) \\
& =\ln (1+\tan t)+\ln \frac{2}{1+\tan t}=\ln 2
\end{aligned}
$$

由此可得到

$$
I=\int_0^{\frac{\pi}{8}} \ln 2 d x=\frac{\pi}{8} \ln 2
$$

下面的例题中的积分中有一个参数 $\alpha$ ，但其积分值却是一个常数．
例题10．39证明：对任意实数 $a$ 成立恒等式

$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{1+\tan ^a x} \equiv \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{1+\cot ^a x} \equiv \frac{\pi}{4}
$$

证 容易证明两个积分相等，因此只计算第一个积分。从公式（10．15）先计算

$$
\frac{1}{1+\tan ^a x}+\frac{1}{1+\cot ^a x}=\frac{1}{1+\tan ^a x}+\frac{\tan ^a x}{1+\tan ^a x}=1
$$

它在 $[0, \pi / 4]$ 上的积分就是 $\frac{\pi}{4}$ ．

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