最后更新: 2025-11-15 18:58 查看: 149 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二次曲面总览★★★★

## 二次曲面
在前面看到三元一次方程代表的是一个平面，接下来我们将看到三元二次方程表示的是曲面。三元二次方程的一般形式是

$$
A x^2+B y^2+C z^2+D x y+E y z+F z x+G x+H y+I z+J=0, 
$$

其中 $A, \cdots, J$ 是常数，且 $A, B, C$ 不全为零。在空间中取定一个直角坐标系之后，任意给定这样的一个方程，除去个别情况之外，在多数情况下满足这个方程的全体解 $(x, y, z)$ 形成一张曲面。我们的任务是将所有可能的这种曲面加以分类，并给出其典型形式。

从几何或代数上可以证明，对于任意给定的一个三元二次方程，通过一个适当的坐标变换，可以化为9种类型：详细讨论见线性代数[二次型](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1394) 我们分以下情况来讨论这个方程．

## 1.椭圆锥面
 （1）椭圆锥面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$ ．
 
  ![图片](/uploads/2025-11/2771e6.jpg){WIDTH=250PX}
  
  
显然，这个曲面与平行于 $O x y$ 平面的平面 $z=z_0$ 相截得到的是一个椭圆周：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z_0^2}{c^2}, \\
z=z_0 .
\end{array}\right.
$$

而这个椭圆的两个半轴分别是 $a\left|z_0\right| / c$ 与 $b\left|z_0\right| / c$ ．也就是说，该椭圆的半轴与 $\left|z_0\right|$ 成正比（见图5．15）。另外，这个曲面与 $O y z$ 坐标平面的截痕是两条直线：
 
 
$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ \frac { y } { b } = \frac { z } { c } , } \\
{ x = 0 , }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
\frac{y}{b}=-\frac{z}{c}, \\
x=0 .
\end{array}\right.\right.
$$

而与 $O z x$ 坐标平面的截痕也是直线：

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ \frac { x } { a } = \frac { z } { c } , } \\
{ y = 0 , }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{a}=-\frac{z}{c} \\
y=0 .
\end{array}\right.\right.
$$

我们之所以称该曲面为锥面，是因为这个曲面是由一束过原点的直线所组成。事实上，若点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ （不是原点）在该曲面上，则由原点与 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 所决定的直线均在曲面上（请读者自行验证）．

## 2.椭球面

（2）椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ ．

![图片](/uploads/2025-11/8e82eb.jpg){WIDTH=350PX}
 
这个曲面是可以装在长立方体

$$
\{(x, y, z)|\quad| x|\leqslant a,|y| \leqslant b,|z| \leqslant c\}
$$

内的曲面，而且与 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的交点分别是 $\pm a, \pm b, \pm c$（见图5．16）。

用平行 $O x y$ 坐标平面的平面 $z=z_0(0 \leqslant \left.\left|z_0\right| \leqslant c\right)$ 去截，得到的曲线是一个椭圆周：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{z_0^2}{c^2}, \\
z=z_0 .
\end{array}\right.
$$

用平行于其他坐标平面的平面相截结果类似。椭球面的参数方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \sin \varphi \cos \theta, \\
y=b \sin \varphi \sin \theta, \\
z=c \cos \varphi,
\end{array}\right.
$$

其中 $0 \leqslant \theta<2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \p

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【线性代数】二次型的规范形与惯性定理

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