最后更新: 2025-02-11 15:10 查看: 65 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

二次曲面

## 二次曲面
与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程 $F(x, y, z)=0$ 所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为**二次曲面**．

二次曲面是三维空间中由二次方程定义的曲面。其一般形式为：

$$
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
$$

二次曲面有九种，适当选取空间直角坐标系，可得它们的标准方程．

### 椭球面 
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图

![图片](/uploads/2025-02/0c63e1.jpg){width=400px}

### 单叶双曲面 
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图
 ![图片](/uploads/2025-02/1662ba.jpg){width=400px}
 
 ###  双叶双曲面 
 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
 
  ![图片](/uploads/2025-02/70bab6.jpg){width=400px}

### 椭圆和双曲抛物面
椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$
双曲抛物面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$

![图片](/uploads/2025-02/8cfc64.jpg){width=500px}

## 常见二次曲面及其图形

1.定义
以一条曲线绕一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴.
2. 常见二次曲面及其图形
(1) 椭圆锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$ ，如图 (a)。
(2) 椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (b).
(3) 单叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (c).
(4) 双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (d).
(5) 椭圆抛物面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$, 如图 (e).
(6) 双曲抛物面 (马鞍面) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$, 如图 $(f)$.
(7) 椭圆柱面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 如图 (g).
(8) 双曲柱面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, 如图(h).
(9) 抛物柱面 $y^2=a x$, 如图 (i).

![图片](/uploads/2024-10/4036bd.jpg){width=500px}

$$
\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline \text { 二次曲面 } & \text { 标准方程 } & \text { 二次型 } f & \begin{array}{c}
\text { 正惯性 } \\
\text { 指数 }
\end{array} & \begin{array}{c}
\text { 负惯性 } \\
\text { 指数 }
\end{array} \\
\hline \text { 粗圆锥面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-z^2 & 2 & 1 \\
\hline \text { 椭球面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} & 3 & 0 \\
\hline

\hline \text { 单叶双曲面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} & 2 & 1 \\
\hline \text { 双叶双曲面 } & \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} & 1 & 2 \\
\hline \text { 椭圆柱面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} & 2 & 0 \\
\hline \text { 双曲柱面 } & \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} & 1 & 1 \\
\end{array}
$$

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