最后更新: 2025-05-24 07:30 查看: 227 次反馈同步训练

高考研究：两个计数原理

## 两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有$N＝ m+n $种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有$N＝  m*n$       种不同的方法.

`例` 有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有
A.8种  	B.9种  	C.10种  	D.11种
解：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班级分别为a，b，c，d.假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法.由分类加法计数原理可知，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法.

`例` 如果一个三位正整数如＂$a_1 a_2 a_3$＂满足 $a_1<a_2$ ，且 $a_2>a_3$ ，则称这样的三位数为凸数（如 $120,343,275$ 等），那么所有凸数的个数为

解：若 $a_2=2$ ，则百位数字只能选 1 ，个位数字可选 1 或 0 ，＂凸数＂为 120与 121 ，共 2 个．若 $a_2=3$ ，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则＂凸数＂有 $2 \times 3=6$（个）．若 $a_2=4$ ，满足条件的＂凸数＂有 $3 \times 4$ $=12$（个），$\cdots \cdots$ ，若 $a_2=9$ ，满足条件的＂凸数＂有 $8 \times 9=72$（个）。所以所有凸数共有 $2+6+12+20+30+42+56+72=240$（个）．

`例` 设 $I=\{1,2,3,4\}, ~ A$ 与 $B$ 是 $I$ 的子集，若 $A \cap B=\{1,2\}$ ，则称 $(A, B)$ 为一个 ＂理想配集＂。若将 $(A, B)$ 与 $(B, A)$ 看成不同的＂理想配集＂，则符合此条件的＂理想配集＂有？
解：对子集 $A$ 分类讨论：
当 $A$ 是二元集 $\{1,2\}$ 时，$B$ 可以为 $\{1,2,3,4\}$ ，$\{1,2,4\}$ ，$\{1,2,3\}$ ，$\{1,2\}$ ，共4种情况；
当 $A$ 是三元集 $\{1,2,3\}$ 时，$B$ 可以为 $\{1,2,4\}$ ，$\{1,2\}$ ，共 2 种情况；
当 $A$ 是三元集 $\{1,2,4\}$ 时，$B$ 可以为 $\{1,2,3\}$ ，$\{1,2\}$ ，共 2 种情况；
当 $A$ 是四元集 $\{1,2,3,4\}$ 时，$B$ 取 $\{1,2\}$ ，有 1 种情况。
根据分类加法计数原理可知，共有 $4+2+2+1=9$（种）结果，即符合此条件的＂理想配集＂有 9 个．

`例` 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有
 
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 解：先填第一行，有3×2×1＝6(种)不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理可知，共有6×2＝12(种)不同的填法.

`例`(多选)现安排高二年级 $A, B, C$ 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是
A．共有 $4{ }^3$ 种不同的安排方法
B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有 37 种
C．若 $A$ 同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有 12 种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有 24 种
解：对于 $A , ~ A, ~ B, ~ C$ 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有 4 种选法，则

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