最后更新: 2025-02-12 07:31 查看: 133 次反馈刷题

附录：杨辉三角

我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中呈现了一张 ＂开方作法本源＂图（如图4．4－2），并且说这个方法是出自《黄帝九章算术细草》，贾宪曾经用过它，但该书早已失传，加之＂开方作法本源＂这一名词过于古奥，后人就把这个图形简称为＂杨辉三角＂或＂贾宪三角＂。

该图形是否是贾宪所作，作于何时，研究者尚难以确定，但可以肯定的是，这一图形的发明当不迟于1200年左右。在欧洲，这个图形被称为＂帕斯卡三角＂，人们一般认为这是帕斯卡在1654年发明的。其实在帕斯卡之前已有许多人论及过，最早的是德国人阿批纳斯，他曾经把这个图形印在1527年著的一本算术书的封面上。

图 1 以图形的形式表示杨辉三角，我们可以从中直观地看出它的一些性质。
 ![图片](/uploads/2025-02/5da225.jpg){width=300px}
 
 （1）第 $n$ 行的 $n+1$ 个数是二项式 $(a+b)^n$ 的展开式的系数；
（2）当行数 $n$ 为偶数时，$C_n^{\frac{n}{2}}$ 最大；
（3）当行数 $n$ 为奇数时， $C _n^{\frac{n-1}{2}}$ 和 $C _n^{\frac{n+1}{2}}$ 最大；
（4）第 $n$ 行的数字之和等于 $2^n$ ．

我们还可以从其他的角度来分析杨辉三角（如图 2），并发现一些有趣的排列规律．
 ![图片](/uploads/2025-02/0c2b7b.jpg)
 
 对于杨辉三角的构成，还有一种有趣的看法．如图 3，在一块倾斜的木板上钉上一些正六角形的小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方框．把小弹子倒在漏斗里，小弹子就会沿着通道掉入方框。我们很容易发现一个事实，就是任何一层的左右两边的通道都只有一条路线，而其他任何一个通道的可能路线，都等于它左右两肩上两个通道可能的路线条数之和，这正是杨辉三角组成的规则．于是我们知道，第 $n+1$ 层通道从左到右，分别有 $1, C _n^1$ ， $C _n^2, \cdots, C _n^{n-1}, 1$ 条可能的路线。

如果在倾斜板上做了 $n+1$ 层通道，从顶上漏斗里放下了 $\left(1+ C _n^1+ C _n^2+\cdots+\right.$ $\left.C _n^{n-1}+1\right)$ 颗弹子，让它们自由地落下，掉在下面的 $n+1$ 个长方框里，那么落在这 $n+1$ 个框中的弹子的正常数目（按照可能情形计算），正好是杨辉三角的第 $n$ 行上的各数。

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