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高中数学
第十一章:排列组合与二项式定理
高考研究:两个计数原理
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更新:
2025-05-24 07:30
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高考研究:两个计数原理
## 两个计数原理 (1)分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有$N= m+n $种不同的方法. (2)分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有$N= m*n$ 种不同的方法. `例` 有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则不同的监考方法有 A.8种 B.9种 C.10种 D.11种 解:设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班级分别为a,b,c,d.假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法.由分类加法计数原理可知,共有3+3+3=9(种)不同的监考方法. `例` 如果一个三位正整数如"$a_1 a_2 a_3$"满足 $a_1<a_2$ ,且 $a_2>a_3$ ,则称这样的三位数为凸数(如 $120,343,275$ 等),那么所有凸数的个数为 解:若 $a_2=2$ ,则百位数字只能选 1 ,个位数字可选 1 或 0 ,"凸数"为 120与 121 ,共 2 个.若 $a_2=3$ ,则百位数字有两种选择,个位数字有三种选择,则"凸数"有 $2 \times 3=6$(个).若 $a_2=4$ ,满足条件的"凸数"有 $3 \times 4$ $=12$(个),$\cdots \cdots$ ,若 $a_2=9$ ,满足条件的"凸数"有 $8 \times 9=72$(个)。所以所有凸数共有 $2+6+12+20+30+42+56+72=240$(个). `例` 设 $I=\{1,2,3,4\}, ~ A$ 与 $B$ 是 $I$ 的子集,若 $A \cap B=\{1,2\}$ ,则称 $(A, B)$ 为一个 "理想配集"。若将 $(A, B)$ 与 $(B, A)$ 看成不同的"理想配集",则符合此条件的"理想配集"有? 解:对子集 $A$ 分类讨论: 当 $A$ 是二元集 $\{1,2\}$ 时,$B$ 可以为 $\{1,2,3,4\}$ ,$\{1,2,4\
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