最后更新: 2025-02-21 21:52 查看: 79 次反馈刷题

p值和 p值检验法

##  $p$ 值和 $p$ 值检验法
假设检验的 $p$ 值是在原假设 $H_0$ 成立的条件下，检验统计量 $Z$ 出现给定观测值或者比之更极端值的概率，直观上用以描述抽样结果与理论假设的吻合程度，因而也称 $p$ 值为拟合优度. 例如，正态总体参数检验 $H_0: \mu=\mu_0 \leftrightarrow H_1: \mu \neq \mu_0$ 的情况，检验统计量为 $Z$ ，即由样本数据得到检验统计量 $Z$ 的观测值为 $z^*$, 则 $p$ 值为 $p=P\left(|Z| \geqslant z^* \mid H_0\right.$ 成立 $)$. $p$ 值检验法的原则是当 $p$ 值小到一定程度时拒绝 $H_0$.
$p$ 值检验法的原则是当 $p$ 值小到一定程度时拒绝 $H_0$.
（1）如果 $p \leqslant \alpha$ （如图 8.2 所示），即检验统计量 $Z$ 的观测值 $z^*$ 在拒绝域内，则在显著性水平 $\alpha$ 下拒绝原假设 $H_0$ ；

（2）如果 $p>\alpha$ ，则在显著性水平 $\alpha$ 下接受原假设 $H_0$ 。
通常约定： $p \leqslant 0.05$ 称结果为显著； $p \leqslant 0.01$ 则称结果为高度显著。
 ![图片](/uploads/2024-12/18a4c2.jpg)

`例`一美国汽车厂商声称他们生产的某节能型汽车耗油量低于 29 (单位: 英里/加仑, 简称 mpg ), 另一汽车厂商表示怀疑，他抽取了一组同是这一型号的不同汽车的行驶记录共 16 条, 得到平均耗油量观测值为 28 , 假设该节能型汽车的耗油量 $X \sim N(\mu, 9)$ ，请问在显著性水平 $\alpha=0.05$假定下，能否接受耗油量低于 29 的假设；若显著性水平为 $\alpha=0.1$, 则结论会有变化吗?

解 建立假设 $H_0: \mu \geqslant 29 \leftrightarrow H_1: \mu<29$, 给出未知参数 $\mu$ 的估计 $\hat{\mu}=\bar{x}=28$, 则

$$
\begin{aligned}
p=P\left(\bar{X}<28 \mid H_0 \text { 成立 }\right) & =P\left(\frac{\bar{X}-\mu}{3} \sqrt{16} \leqslant \frac{28-\mu}{3} \sqrt{16}\right) \leqslant P\left(\frac{\bar{X}-\mu}{3} \sqrt{16} \leqslant \frac{28-29}{3} \sqrt{16}\right) \\
& =P\left(\frac{\bar{X}-\mu}{3} \sqrt{16} \leqslant-1.33\right)=0.0918 .
\end{aligned}
$$

当显著性水平 $\alpha=0.05$ 时， $0.0918>0.05$ ，故不能拒绝 $H_0$ ，认为耗油量不低于 29 mpg 。当显著性水平 $\alpha=0.1$ 时， $0.0918<0.1$ ，故拒绝 $H_0$ ，认为耗油量低于 29 mpg 。
这个例子告诉我们，在一个较小的显著性水平 $(\alpha=0.05)$ 下得到不能拒绝原假设 $H_0$的结论，而在一个较大的显著性水平（ $\alpha=0.1$ ）下，同一组样本数据却得到了相反的结论。原因在于，当显著性水平变大时，会导致检验的拒绝域变大，原本落在接受域内的数据可能落到拒绝域内，因而更容易拒绝 $H_0$ (如图8.3 所示). 这就给实际工作带来一定的麻烦，可能同一个问题，在不同的显著性水平假定下得到不同的结论，换一个角度，给出 $p$ 值，由使用者自己决策以多大的显著性水平来拒绝原假设。所以，在实际应用中，当我们进行假设检验时，更常见的是给出 $p$ 值，因为 $p$ 值比拒绝域提供更多信息, 使用也更灵活.
 ![图片](/uploads/2024-12/612127.jpg)

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