最后更新: 2025-03-30 08:10 查看: 657 次反馈同步训练

罗尔定理

## 罗尔定理
上一节给出了微分的近似计算:

$$
f(x) \approx f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot \Delta x
$$

即当 $\Delta x=x-x_0$ "很小" 时， $f(x)$ 可以由线性函数 $f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)$ 来近似替代.
但这个公式有两大缺陷:
(1) 公式要求 $\Delta x$ "很小" ；
(2) 公式只是一个近似替代，而不是一个精确值.

本节旨在改进这个近似式，使得对于任何 $\Delta x$ 的值，均有等式成立. 那么如何改进呢?
现在将该近似公式改写成

$$
\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \approx f^{\prime}\left(x_0\right)
$$

从图形上看 (见图2-14) 将过点 $M(x, f(x))$ 及 $M_0\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的直线的斜率近似用曲线 $y=f(x)$ 上点 $M_0$ 处的切线的斜率表示， 它 们一般不相等. 逐渐移动点的切线，就会发现，有一点 $\xi \in\left(x_0, x\right)$ 能 够使这一点处的切线平行于连接端点的弦 (见图2-15).

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228e216c60.png)

如图2-16所示，连续曲线弧 $A B$ 是函数 $y=f(x)(x \in[a, b])$ 的图形. 此 图形的两个端点的纵坐标相等，即 $f(a)=f(b)$ ， 且除了端点外处处有不垂 直于 $x$ 轴的切线. 可以发现，在曲线弧的最高点或最低点处，曲线有水平的 切线. 如果记 $C$ 点的横坐标为 $\xi$ ，那么就有 $f^{\prime}(\xi)=0$.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228a5c8a46.png)

如果把这个几何现象描述出来，就可得到下面的罗尔定理. 为方便讨论，先 介绍费马定理.
引理(**费马定理**) 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域 $U\left(x_0\right)$ 内有定义并且在 $x_0$ 处可导，对任意的 $x \in U\left(x_0\right)$ ，恒有 $f(x) \leq f\left(x_0\right)$ (或 $\left.f(x) \geq f\left(x_0\right)\right)$ 那么 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ (见图2-17)

![图片](/uploads/2022-12/image_202212284be7078.png)

证明 不妨设 $x \in U\left(x_0\right)$ 时， $f(x) \leq f\left(x_0\right)$ (如果 $f(x) \geq f\left(x_0\right)$ ，可以完 全类似地证明)，于是对于 $x_0+\Delta x \in U\left(x_0\right)$ ，有 $f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right) \leq 0$. 从而，当 $\Delta x>0$ 时

$$
\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} \leq 0 ，
$$

而当 $\Delta x<0$ 时

$$
\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} \geq 0 .
$$

根据函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导的条件，再由极限的保号性，便得到

$$
\begin{aligned}
& f^{\prime}\left(x_0\right)=f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} \leq 0, \\
& f^{\prime}\left(x_0\right)=f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} \geq 0 .
\end{aligned}
$$

所以 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 证毕.
通常称导数等于零的点为函数的驻点（或称为稳定点、临界点）.

## 罗尔定理
定理1 (罗尔定理) 如果函数 $y=f(x)$ 满足
（1）在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
（2) 在开区间 $(a, b)$ 内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即 $f( a)=f(b)$ 那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi(a<\xi<b)$ ，使函数 $y=f(x)$ 在该点处的导数等于零:

$$
f^{\prime}(\xi)=0
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122813a064f.png)

证明 由于 $y=f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，根据闭区间上连续函数的最 大值和最小值定理， $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上必定取得最大值 $M$ 和最小值 $m

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