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罗尔定理

## 罗尔定理
上一节给出了微分的近似计算:

$$
f(x) \approx f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot \Delta x
$$

即当 $\Delta x=x-x_0$ "很小" 时， $f(x)$ 可以由线性函数 $f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)$ 来近似替代.
但这个公式有两大缺陷:
(1) 公式要求 $\Delta x$ "很小" ；
(2) 公式只是一个近似替代，而不是一个精确值.

本节旨在改进这个近似式，使得对于任何 $\Delta x$ 的值，均有等式成立. 那么如何改进呢?
现在将该近似公式改写成

$$
\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \approx f^{\prime}\left(x_0\right)
$$

从图形上看 (见图2-14) 将过点 $M(x, f(x))$ 及 $M_0\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的直线的斜率近似用曲线 $y=f(x)$ 上点 $M_0$ 处的切线的斜率表示， 它 们一般不相等. 逐渐移动点的切线，就会发现，有一点 $\xi \in\left(x_0, x\right)$ 能 够使这一点处的切线平行于连接端点的弦 (见图2-15).

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228e216c60.png)

如图2-16所示，连续曲线弧 $A B$ 是函数 $y=f(x)(x \in[a, b])$ 的图形. 此 图形的两个端点的纵坐标相等，即 $f(a)=f(b)$ ， 且除了端点外处处有不垂 直于 $x$ 轴的切线. 可以发现，在曲线弧的最高点或最低点处，曲线有水平的 切线. 如果记 $C$ 点的横坐标为 $\xi$ ，那么就有 $f^{\prime}(\xi)=0$.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228a5c8a46.png)

如果把这个几何现象描述出来，就可得到下面的罗尔定理. 为方便讨论，先 介绍费马定理.
引理(费马定理) 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域 $U\left(x_0\right)$ 内有定义并且在 $x_0$ 处可导，对任意的 $x \in U\left(x_0\right)$ ，恒有 $f(x) \leq f\left(x_0\right)$ (或 $\left.f(x) \geq f\left(x_0\right)\right)$ 那么 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ (见图2-17)

![图片](/uploads/2022-12/image_202212284be7078.png)

证明 不妨设 $x \in U\left(x_0\right)$ 时， $f(x) \leq f\left(x_0\right)$ (如果 $f(x) \geq f\left(x_0\right)$ ，可以完 全类似地证明)，于是对于 $x_0+\Delta x \in U\left(x_0\right)$ ，有 $f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right) \leq 0$. 从而，当 $\Delta x>0$ 时

$$
\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} \leq 0 ，
$$

而当 $\Delta x<0$ 时

$$
\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} \geq 0 .
$$

根据函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导的条件，再由极限的保号性，便得到

$$
\begin{aligned}
& f^{\prime}\left(x_0\right)=f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} \leq 0, \\
& f^{\prime}\left(x_0\right)=f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} \geq 0 .
\end{aligned}
$$

所以 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 证毕.
通常称导数等于零的点为函数的驻点（或称为稳定点、临界点）.

**罗尔定理**
定理1 (罗尔定理) 如果函数 $y=f(x)$ 满足
（1）在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
（2 ) 在开 区间 $(a, b)$ 内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即 $f(. a)=f(b)$ 那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi(a<\xi<b)$ ，使函数 $y=f(x)$ 在该点处的导数等于零:

$$
f^{\prime}(\xi)=0
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122813a064f.png)

证明 由于 $y=f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，根据闭区间上连续函数的最 大值和最小值定理， $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上必定取得最大值 $M$ 和最小值 $m$.
情况1 $M=m$. 这时 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上必为常数： $y \equiv M$. 于是 $f^{\prime}(x) \equiv 0$. 因此任取一点 $\xi \in(a, b)$ ， 都有 $f^{\prime}(\xi)=0$.
情况2 $M>m$. 这时 $M$ 和 $m$ 在这两个数中至少有一个不等于 $f(a)$ 不妨 设 $M \neq f(a)$ (如果设 $m \neq f(a)$ ，证明完全类似). 由于 $f(a)=f(b)$ ，因此 $M \neq f(b)$. 于是存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f(\xi)=M$. 因此对区间 $[a, b]$ 上的任 意 $x$ 有 $f(\xi) \geq f(x)$ ，从而由费马定理可知 $f^{\prime}(\xi)=0$ ，证毕.

罗尔定理的几何意义 如果曲线段 $y=f(x) \quad(x \in[a, b])$ 是连续不断的、光 滑的，且两端纵坐标相等，则该曲线段在 $[a, b]$ 上至少有一条水平切线.
需要指出的是，定理的三个条件是十分重要的. 如果某一个条件不满足，定理 的结论就可能不成立.下面举三个例子，并结合图像进行考察.

例 1 $f(x)= \begin{cases}1 & x=0 \\ x & 0<x \leq 1\end{cases}$
函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 的左端点 $x=0$ 处 间断（见图2-19），不满足在闭区间上连 续的条件.
此时虽然满足定理的另外两个条件，但 显然没有水平切线.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228135fa2c.png)

例2 $f(x)=|x|, \quad x \in[-1,1]$
函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导，因而不 满足在开区间内可导的条件. 此时虽满足定 理的另外两个条件，显然也没有水平切线 (见图2-20) .

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228e7aaf2f.png)

例3 $f(x)=x, \quad x \in[0,1]$
显然函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，但 $f(0)=0 \neq f(1)=1$ ， 即在两端 点处函数值相等的条件不满足，显然也没有 水平切线 (见图2-21).

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122854681c4.png)

由此可见，应用这个定理时， 一定要仔细验证是否满足定理的三个条件，否则容易产生错误.
其次，要说明定理的三个条件是充分的，而非必要的。也就是说，若满足定理的三个条件，则定理的结论必定成立.
如果定理的三个条件不完全满足的话，则定理的结论可能成立，也可能不成立.

例4 验证函数 $f(x)=x^3+4 x^2-7 x-10$ 在区间 $[-1,2]$ 上满足罗尔定理的三 个条件，并求出满足 $f^{\prime}(\xi)=0$ 的点 $\xi$.
解 因为 $f(x)=x^3+4 x^2-7 x-10$ 是多项式，所以在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导，故 它在 $[-1,2]$ 上连续，且在 $(-1,2)$ 内可导. 容易验证 $f(-1)=f(2)=0$ 因此， $f(x)$ 满足罗尔定理的三个条件. $f^{\prime}(x)=3 x^2+8 x-7$ ， 令 $f^{\prime}(x)=0$ ， 即 $3 x^2+8 x-7=0$ ， 解之得

$$
x_1=\frac{-4+\sqrt{37}}{3}, \quad x_2=\frac{-4-\sqrt{37}}{3}
$$

显然， $x$ 不在 $[-1,2]$ 内，应舍去。而 $x_1 \in[-1,2]$ 因而可把 $x_1$ 取作 $\xi$ 就有 $f^{\prime}(\xi)=0$

例5 证明 $f(x)=x^3-3 x+a$ 在 $[0,1]$ 上不可能有两个零点.
证明 (反证法) 若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有两个零点 $x_1, x_2$ ，不妨设 $x_1<x_2$ ， 即

$$
f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=0
$$

因此 $f(x)$ 在 $\left[x_1, x_2\right]$ 上满足罗尔定理的条件，故存在 $\xi \in\left(x_1, x_2\right)$ ，使得

$$
f^{\prime}(\xi)=0
$$

由于 $\xi \in\left(x_1, x_2\right) \subset[0,1] \quad$ 故 $f^{\prime}(\xi)=3 \xi^2-3<0$ ，矛盾. 从而 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不可能有两个零点.

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