最后更新: 2025-09-06 11:15 查看: 799 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

费马定理与罗尔中值定理（Fermat & Rolle theorem）

## 极值
**定义**  设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有定义，点 $x_0$ 是 $(a, b)$ 内的一点．若存在 $x_0$ 的邻域 $U\left(x_0\right)$ ，使得对于任意的 $x \in U\left(x_0\right)$ ，有 $f\left(x_0\right) \geqslant f(x)$ ，则称 $f$在点 $x_0$ 取得**极大值**，称点 $x_0$ 为**极大值点**．若存在 $x_0$ 的邻域 $U\left(x_0\right)$ ，使得对于任意的 $x \in U\left(x_0\right)$ ，有 $f\left(x_0\right) \leqslant f(x)$ ，则称 $f$ 在点 $x_0$ 取得**极小值**，称点 $x_0$ 为**极小值点**。

函数的极大值与极小值统称为**极值**；极大值点与极小值点统称为**极值点**．

例如，函数 $|x|, x^2$ 以及 $\sin ^2 x$ 都在点 $x_0=0$ 取得极小值，函数 $1-x^2$ ， $\cos x$ 都在点 $x_0=0$ 取得极大值．

注（1）极值是局部性概念，若 $f\left(x_0\right)$ 是极值，则只是和点 $x_0$ 附近的函数值比较而言的，而和离 $x_0$ 较远处的函数值无关；最大值与最小值是对整个区间而言，是整体概念．
（2）闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数必有最大值和最小值，最大值大于最小值 （常函数除外），但可能无极值．即使有极值，也可能不止一个，极小值也可能大于极大值 ．若 $f\left(x_0\right)\left(x_0 \in(a, b)\right)$ 是函数的最大值或最小值，则一定是极值．

## 费马定理 Fermat theorem
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域 $U\left(x_0\right)$ 内有定义并且在 $x_0$ 处可导，对任意的 $x \in U\left(x_0\right)$ ，恒有 $f(x) \leq f\left(x_0\right)$ (或 $\left.f(x) \geq f\left(x_0\right)\right)$ 那么 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ (见图2-17)，即函数取的极值点时，导数$f'(x)=0$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212284be7078.png)

证明  略，几何意义参考上图还是很好理解的
 
如果 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，那么称 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的一个**驻点**（或称为**稳态点**、**临界点**）。费马定理指出：**可微函数 $f(x)$ 的极值点必为驻点**，因此某点为驻点是可微函数在该点取得极值的必要条件．但在一般情形下驻点不一定是函数的极值点．例如，考察函数 $f(x)=x^3$ ，显然 $f^{\prime}(0)=0$ ，因此 $x_0=0$ 是这个函数的一个驻点．但是从图形上看，$x_0=0$ 不是 $f(x)=x^3$ 的极值点．

驻点就是导数为零的点，下图表明，一个函数可以有多个驻点。
 ![图片](/uploads/2025-05/2b1e02.jpg){width=400px}

## 罗尔定理 Rolle theorem
### 引入
假设有函数$y=f(x)$，其图形如下，从图上看 (见图2-14) 将过点 $M(x, f(x))$ 及 $M_0\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的直线的斜率近似用曲线 $y=f(x)$ 上点 $M_0$ 处的切线的斜率表示， 它 们一般不相等. 逐渐移动点的切线，就会发现，有一点 $\xi \in\left(x_0, x\right)$ 能 够使这一点处的切线平行于连接端点的弦 (见图2-15).

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228e216c60.png)

如图2-16所示，连续曲线弧 $A B$ 是函数 $y=f(x)(x \in[a, b])$ 的图形. 此 图形的两个端点的纵坐标相等，即 $f(a)=f(b)$ ， 且除了端点外处处有不垂 直于 $x$ 轴的切线. 可以发现，在曲线弧的最高点或最低点处，曲线有水平的 切线. 如果记 $C$ 点的横坐标为 $\xi$ ，那么

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