最后更新: 2025-09-13 16:59 查看: 666 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第一类曲线积分(对弧长积分)

## 第一类曲线积分的引入-曲线状构件的质量
在工程技术与物理学中，常常要遇到计算**非均匀粗细的曲线状构件的质量**，在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应根据构件各部分受力的情况，把构件上**各点处的粗细程度设计得不完全一样**. 因此可以认为这构件的线密度 (单位长度的质量) 是变量.

假设在 $x O y$ 平面上有一曲线状构件，设曲线弧 $A B$ 的长为 $l$ ， 线密度为连续函数 $\rho=\rho(x, y) ，(x, y) \in A B$. 若构件的线密度 $\rho$ 是常数（均匀质体），则构件的 质量 $M=\rho l$ ； 若构件的线密度 $\rho=\rho(x, y)$ (非均匀质体)，就不能直接用上述方法计算其质量.

可用点 $M_1 ， M_2 ， \ldots, M_{n-1}$ 将曲线弧 $A B$ 分成 $n$ 个小弧段 $\Delta s_i(i=1,2 ... )$，$\Delta s_i$ 也表示为该小弧段的弧长.对于每一小段构件，由于线密度连续变化所以，只要其长度足够短，就可以用这一小段上任一点处的线密度代替这一小段上其他各点处的线密度.即任取 $\left(x_i, y_i\right) \in \Delta s_i$ (图 7-42)，从而得到这小段构件 $\Delta s_i$ 的质量 $\Delta m_i$ 的近似值为 $\rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，从而曲线
状构件的质量为

$$
m=\sum_{i=1}^n \Delta m_i \approx \sum_{i=1}^n \rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i,

![图片](/uploads/2023-01/image_202301013f78a41.png){width=300px}

取 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta s_i\right\}$ ，当分点无限增多且 $\lambda \rightarrow 0$ 时，此和式极限就是该曲线状构件的质量，

即

$$
m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i .
$$

抛开这个问题的物理意义，对此和式极限进行抽象，就得到第一类曲线积分的定义.

## 对弧长曲线积分的定义

**定义**  设 $L$ 为 $x O y$ 面上的光滑曲线，$f(x, y)$ 为定义在 $L$ 上的有界函数，将曲线 $L$ 任意分成 $n$ 段 $\widehat{M}_0 M_1, \widehat{M}_1 M_2, \cdots, \widehat{M}_{n-1} M_n$ ．每段弧长记为 $\Delta s_i, i=1$ ， $2, \cdots, n$ ，在 $\widehat{M}_{i-1} M_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ ，作乘积

$$
f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i(i=1,2, \cdots, n)
$$

再作和式

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i,
$$

如果不论 $L$ 如何分割，也不论 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ 如何选取，极限

$$
\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i \quad\left(\lambda=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{\Delta s_i\right\}\right)
$$

总存在且相同，则称该极限为函数 $f(x, y)$ 在曲线 $L$ 上**对弧长的曲线积分**（也称为**第一类曲线积分**），记为 $\int_L f(x, y) \mathrm{d} s$ ，即

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i
$$

并称 $f(x, y) \mathrm{d} s$ 为**积分表达式**，$L$ 为**积分曲线**， $\mathrm{d} s$ 为**弧元素**（或弧微分）．
这样，例1．1中的质量可表示为 $M=\int_L \mu(x, y) \mathrm{d} s$ ．

> 注（1）定义中的光滑曲线是对曲线形状的一种直观描述，光滑就是曲线上每点都有切线，且随切点在曲线上移动，切线连续变动．如曲线的方程为 $y=f(x)$ ，则切线的斜率为 $f^{\prime}(x)$ ，切线连续变动即 $f^{\prime}(x)$ 连续．对曲线的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=x(t), \\ y=y(t),\end{array} \alpha \leqslant t \leqslant \beta\right.$, 因为此时斜率 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}\left(\right.$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=\frac{x^{\prime}(t)}{y^{\prime}(t)}\right)$ ，相应地曲线光滑相当于 $x^{\prime}(t), y^{\prime}(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续且 $\left[x^{\prime}(t)\right]^2+\left[y^{\prime}(t)\right]^2 \neq 0$ ， $\forall t \in[\alpha, \beta]$ ．
（2）若 $L$ 是闭曲线，则函数 $f(x, y)$ 在曲线 $L$ 上对弧长的曲线积分可表示为 $\oint_L f(x, y) \mathrm{d} s$.

### 性质
与定积分类似，对弧长的曲线积分有如下性质（假设下面出现的积分都存在）：
（1）线性性 若 $\alpha, \beta$ 为常数，则

$$
\int_L[\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)] \mathrm{d} s=\alpha \int_L f(x, y) \mathrm{d} s+\beta \int_L g(x, y) \mathrm{d} s
$$

（2）积分区域可加性 若分段光滑曲线 $L$ 由两段光滑曲线 $L_1, L_2$ 组成，则

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{L_1} f(x, y) \mathrm{d} s+\int_{L_2} f(x, y) \mathrm{d} s
$$

（3）单调性 若在 $L$ 上 $f(x, y) \leqslant g(x, y)$ ，则

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s \leqslant \int_L g(x, y) \mathrm{d} s
$$

（4）绝对可积性 若 $f(x, y)$ 对弧长 $L$ 的曲线积分存在，则 $|f(x, y)|$ 对弧长 $L$ 的曲线积分存在，且有

$$
\left|\int_L f(x, y) \mathrm{d} s\right| \leqslant \int_L|f(x, y)| \mathrm{d} s
$$

（5）积分中值定理 若 $f(x, y)$ 在 $L$ 上连续，则存在 $(\xi, \eta) \in L$ ，使得

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=f(\xi, \eta) s \text { (这里 } s \text { 为 } L \text { 的弧长). }
$$

特别地，有 $\int_L \mathrm{~d} s=s$ ．即被积函数为 1 时，对弧长的曲线积分等于积分曲线 $L$ 的弧长．

## 对弧长曲线积分的计算-显函数模式

**定理1** 设曲线 $L$ 是由函数 $y=y(x)(a \leqslant x \leqslant b)$ 所给出，其中 $y=y(x)$在 $[a, b]$ 上有连续的导数．又假定函数 $f(x, y)$ 在 $L$ 上连续．则我们有公式 （这个公

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