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高等数学
第七章 多元函数积分学
第一类曲线积分(对弧长积分)
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2025-05-05 08:17
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第一类曲线积分(对弧长积分)
第一类曲线积分;弧积分
## 第一类曲线积分的引入 在工程技术与物理学中,常常要遇到计算**非均匀曲线状构件的质量**,质点受变力作用下沿曲线运动而作功及流体通过曲面的流量等问题,要解决这类问题,就要推广积分概念积分区域. 在前面两节中,我们已经对积分概念作了推广,例如定积分的积分范围是数轴上的区间,二重积分的积分范围为平面闭区域,三重积分的积分的积分范围为空间立体.现在我们要把积分范围推广到一段曲线 (我们讨论的都是有限长度的曲线弧),这就是本节所要介绍的曲线积分. ## 曲线状构件的质量 在设计曲线形构件时,为了合理使用材料,应根据构件各部分受力的情况,把构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样. 因此可以认为这构件的线密度 (单位长度的质量) 是变量. 假设在 $x O y$ 平面上有一曲线状构件,设曲线弧 $A B$ 的长为 $l$ , 线密度为连续函数 $\rho=\rho(x, y) ,(x, y) \in A B$. 若构件的线密度 $\rho$ 是常数(均匀质体),则构件的 质量 $M=\rho l$ ; 若构件的线密度 $\rho=\rho(x, y)$ (非均匀质体),就不能直接用上述 方法计算其质量. 可用点 $M_1 , M_2 , \ldots, M_{n-1}$ 将曲线弧 $A B$ 分成 $n$ 个小弧段 $\Delta s_i(i=1,2 ... )$ $\Delta s_i$ 也表示为该小弧段的弧长.对于每一小段构件,由于线密度连续变化所以,只要其长度足够短,就可以用这一小段上任一点处的线密度代替这一小段上其他各点处的线密度.即任取 $\left(x_i, y_i\right) \in \Delta s_i$ (图 7-42),从而得到这小段构件 $\Delta s_i$ 的质量 $\Delta m_i$ 的近似值为 $\rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i(i=1,2, \cdots, n)$ ,从而曲线 状构件的质量为 $$ m=\sum_{i=1}^n \Delta m_i \approx \sum_{i=1}^n \rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i, $$ {width=300px} 取 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta s_i\right\}$ ,当分点无限增多且 $\lambda \rightarrow 0$ 时,此和式极限就是该曲线状构件的质量, 即 $$ m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i . $$ 抛开这个问题的物理意义,对此和式极限进行抽象,就得到第一类曲线积分的定义. ## 对弧长曲线积分的定义 **定义1** 设 $L$ 为 $x O y$ 平面上一条光滑(或分段光滑)的曲线弧, 函数 $f(x, y)$ 在 $L$ 上有界,在 $L$ 上任意取点 $M_1 、 M_2 、 \ldots \ldots . M_{n-1}$ 将 $l$ 分成 $n$ 段小弧,记 $\Delta s_i=M_{i-1} M_i$ , $(i=1,2, \cdots, n)$ ( $\Delta s_i$ 也为该段的弧长), 任取 $\left(x_i, y_i\right) \in \Delta s_i(i=1,2, \cdots, n) , \lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta s_i\right\}$ ,若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i$ 存在,则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在 $L$ 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作 $\int_L f(x, y) d s$ > 若 $L$ 是封闭曲线,那么函数 $f(x, y)$ 在闭曲线上对弧长 $L$ 的曲线积分通常会记为 $\oint_L f(x, y) d s$ 。 可以证明:若 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上连续,则 $f(x, y)$ 在 $L$ 上的曲线积分 $\int_L f(x, y) d s$ 就存在. 以后,我们总假定 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上连续. **计算** 为了简单起见,我们先讨论平面上的第一型曲线积分的计算. 假定 $L$ 是 $O x y$ 上的一条曲线,其方程由函数 $y=y(x)(a \leqslant x \leqslant b)$ 给出,并假定 $y=y(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导数.又设 $f(x, y)$ 是给定在 $L$ 上的一个连续函数。现在考查应该如何计算积分 $$ I=\int_L f(x, y) d s $$ 根据定义,这个积分是和式 $\sum_{i=1}^m f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i$的极限。在现在的情况下,对 $L$ 的任意一个分割都相当于对区间 $[a, b]$ 的一种分割(见下图).因此,上述和式可改写为 $$ \sum_{i=1}^m f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i=\sum_{i=1}^m f\left(\xi_i, y\left(\xi_i\right)\right) \Delta s_i . $$ 另一方面,很容易看出:当划分区间无线小时,即$ \Delta x_i=x_i-x_{i-1} $ 趋近0时, $$ \begin{gathered} \Delta s_i \approx \sqrt{\Delta x^2+\left[y^{\prime}\left(\xi_i\right) \Delta x\right]^2}=\sqrt{1+\left[y^{\prime}\left(\xi_i\right)\right]^2} \Delta x_i \end{gathered} $$ 于是,上述和式又近似于 $$ \sum_{i=1}^m f\left(\xi_i, y\left(\xi_i\right)\right) \sqrt{1+\left[y^{\prime}\left(\xi_i\right)\right]^2} \Delta x_i . $$ {WIDTH=300PX} 可以证明上式等于 $$ =\int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1+\left[y^{\prime}(x)\right]^2} d x . $$ 总之,我们得到了公式 $$ \int_L f(x, y) d s=\int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1+\left[y^{\prime}(x)\right]^2} d x . $$ 它把第一型曲线积分的计算归结为一个定积分的计算。 实际上,上述公式是十分自然的.根据定义,第一型曲线积分 $$ \int_L f(x, y) d s $$ 中被积函数定义在 $L$ 上,而 $L$ 由方程 $y=y(x)$ 给出,因而 $f(x, y)$ 自然换成 $f(x, y(x))$ .另外,其中的 $d s$ 是弧微分.根据[弧微分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=313)知识, $$ d s=\sqrt{1+\left[y^{\prime}(x)\right]^2} d x . $$ 即可得到上面的结果由此得定理1: ## 对弧长曲线积分的计算-显函数模式 **定理1** 设曲线 $L$ 是由函数 $y=y(x)(a \leqslant x \leqslant b)$ 所给出,其中 $y=y(x)$在 $[a, b]$ 上有连续的导数.又假定函数 $f(x, y)$ 在 $L$ 上连续.则我们有公式 $$ \boxed { \int_L f(x, y) d s=\int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1+\left[y^{\prime}(x)\right]^2} d x } $$ `例` 计算 $\int_L \sqrt{y} d s$, 其中 $L$ 是抛物线 $y=x^2$ 上点 $O(0,0)$ 与点 $B(1,1)$ 之间的一段弧. 解: 如图$L$的方程为 {width=300px} $$ \begin{aligned} & y=x^2(0 \leq x \leq 1) \\ & d s=\sqrt{1+\left(x^2\right)^{\prime 2}} d x=\sqrt{1+4 x^2} d x . \end{aligned} $$ 因此 $$ \begin{aligned} \int_L \sqrt{y} d s & =\int_0^1 \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{1+4 x^2} d x \\ & =\int_0^1 x \sqrt{1+4 x^2} d x \\ & =\left[\frac{1}{12}\left(1+4 x^2\right)^{3 / 2}\right]_0^1=\frac{1}{12}(5 \sqrt{5}-1) \end{aligned} $$ ## 对弧长曲线积分的计算-参数模式 > 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程.在任意特定时刻 $t$ ,有一个点,譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来,在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线.显然,画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示,而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样,我们就可以把 $\Gamma=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示, 上面定理1 很容易推广到一般由参数方程给出的平面曲线的情况.假定曲线 $L$ 由参数方程 $$ L:\left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t) \end{array} \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)\right. $$ 给出,这时,在计算积分 $$ \int_L f(x, y) d s $$ 时,其中的 $x$ 与 $y$ 分别由 $\varphi(t)$ 与 $\psi(t)$ 替换,而弧微分 $$ d s=\sqrt{\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^2+\left[\psi^{\prime}(t)\right]^2} d t . $$ 这样,我们自然有下列定理: 设曲线 $L$ 的参数方程是 $$ \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t), \end{array} \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta,\right. $$ 其中函数 $\varphi(t)$ 与 $\psi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上有连续的一阶导数.若 $f(x, y)$ 在 $L$ 上连续,则有计算公式: **定理2** $$ \boxed { \int_L f(x, y) d s=\int_a^\beta f(\varphi(t), \psi(t)) \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} d t . } $$ `例`设曲线 $L$ 为 $\left\{\begin{array}{l}x=R \cos \theta, \\ y=R \sin \theta,\end{array} \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi\right.$ ,求 $I=\int_L y x^2 d s$ . 解 $$ \begin{aligned} I & =\int_0^\pi R \sin \theta(R \cos \theta)^2 \sqrt{R^2(-\sin \theta)^2+R^2 \cos ^2 \theta} d \theta \\ & =\int_0^\pi R^4 \cos ^2 \theta \sin \theta d \theta=-\left.R^4 \cdot \frac{1}{3} \cos ^3 \theta\right|_0 ^\pi=\frac{2}{3} R^4 \end{aligned} $$ 使用参数方程特别要注意的事项 #### (1)积分上限大于积分下限 在使用参数方程计算第一型曲线积分时,我们要特别注意上限与下限的选取:不论被积函数如何,在使用定理 2 中公式时总要保证上限 $\beta$ 大于下限 $\alpha$ 。这是因为在定义第一型曲线积分时,和式 $\sum_{i=1}^m f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i$ 中的 $\Delta s_i$ 是代表弧长,它应当总是正的.当我们借助于参数换成弧微分时 $\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(\xi_i\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(\xi_i\right)\right]^2} \Delta t_i$ 也应当是正的.这就要求上限大而下限小.(否则,将导致 $\Delta t_i=t_i-t_{i-1}<0$ ,从而使 $\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(\xi_i\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(\xi_i\right)\right]^2} \Delta t_i<0$ ,不能作为 $\Delta s_i$ 的近似值.) #### (2) 曲线积分要求 $\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^2+\left[\psi^{\prime}(t)\right]^2 \ne 0$ 在曲线积分里,我们要求曲线是光滑的,“光滑”是口头用于,是对曲线形状的一种直观描述,光滑就是曲线上每点都有切线,且随切点在曲线上移动,切线连续变动.如曲线的方程为 $y=f(x)$ ,则切线的斜率为 $f^{\prime}(x)$ ,切线连续变动即 $f^{\prime}(x)$ 连续.对曲线的参数方程:$\left\{\begin{array}{l}x=x(t), \\ y=y(t),\end{array} \alpha \leqslant t \leqslant \beta\right.$ ,因为此时斜率 $\frac{ d y}{d x}=\frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}$ ,相应地曲线光滑相当于 $x^{\prime}(t), y^{\prime}(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续且 $\left[x^{\prime}(t)\right]^2+\left[y^{\prime}(t)\right]^2 \neq 0$ . 总之,$\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^2+\left[\psi^{\prime}
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