最后更新: 2025-04-09 07:44 查看: 426 次反馈刷题

第一类曲线积分(对弧长积分)

## 第一类曲线积分
在工程技术与物理学中，常常要遇到计算**非均匀曲线状或曲面状构件的质量**，质点受变力作用下沿曲线运动而作功及流体通过曲面的流量等问题，要解决这类问题，就要推广积分概念积分区域.
在前面两节中，我们已经对积分概念作了推广，例如定积分的积分范围是数轴上的区间，二重积分的积分范围为平面闭区域，三重积分的积分的积分范围为空间立体.现在我们要把积分范围推广到一段曲线 (我们讨论的都是有限长度的曲线弧)，这就是本节所要介绍的曲线积分.

## 曲线状构件的质量
曲线状构件的质量: 在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应根据构件 各部分受力的情况，把构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样. 因此可以认为这构件的线密度 (单位长度的质量) 是变量.
假设在 $x O y$ 平面上有一曲线状构件，设曲线弧 $A B$ 的长为 $l$ ， 线密度为连续函 数 $\rho=\rho(x, y) ，(x, y) \in A B$. 若构件的线密度 $\rho$ 是常数（均匀质体），则构件的 质量 $M=\rho l$ ； 若构件的线密度 $\rho=\rho(x, y)$ (非均匀质体)，就不能直接用上述 方法计算其质量.

可用点 $M_1 ， M_2 ， \ldots, M_{n-1}$ 将曲线弧 $A B$ 分成 $n$ 个小弧段 $\Delta s_i(i=1,2 ... )$
$\Delta s_i$ 也表示为该小弧段的弧长.对于每一小段构件，由于线密度连续变化所以，只要其长度足够短，就可以用这一小段上任一点处的线密度代替这一小段上其他各点处的线密度.即任取 $\left(x_i, y_i\right) \in \Delta s_i$ (图 7-42)，从而得到这小段构件 $\Delta s_i$ 的质量 $\Delta m_i$ 的近似值为 $\rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，从而曲线
状构件的质量为

$$
m=\sum_{i=1}^n \Delta m_i \approx \sum_{i=1}^n \rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i,

![图片](/uploads/2023-01/image_202301013f78a41.png){width=400px}

取 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta s_i\right\}$ ，当分点无限增多且 $\lambda \rightarrow 0$ 时，此和式极限就是该曲线状构件的质量，

即

$$
m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i .
$$

抛开这个问题的物理意义，对此和式极限进行抽象，就得到第一类曲线积分的定义.

## 对弧长曲线积分的定义
**定义1** 设 $L$ 为 $x O y$ 平面上一条光滑(或分段光滑)的曲线弧， 函数 $f(x, y)$ 在 $L$ 上有界，在 $L$ 上任意取点 $M_1 、 M_2 、 \ldots \ldots . M_{n-1}$ 将 $l$ 分成 $n$ 段小弧，记 $\Delta s_i=M_{i-1} M_i$ ， $(i=1,2, \cdots, n)$ （ $\Delta s_i$ 也为该段的弧长），

任取 $\left(x_i, y_i\right) \in \Delta s_i(i=1,2, \cdots, n) ， \lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta s_i\right\}$ ，若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i$ 存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在 $L$ 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 $\int_L f(x, y) d s$

> 若 $L$ 是封闭曲线，那么函数 $f(x, y)$ 在闭曲线上对弧长 $L$ 的曲线积分通常会记为 $\oint_L f(x, y) d s$ 。

可以证明：若 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上连续，则 $f(x, y)$ 在 $L$ 上的曲线积分 $\int_L f(x, y) d s$ 就存在. 以后，我们总假定 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上连续.

上述定义完全可以推广到空间曲线 $\Gamma$ 的情形:

$$
\int_{\Gamma} f(x, y, z) d s=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i, z_i\right) \Delta s_i
$$

我们把对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义加以比较，就可以知道, 对弧长的曲线积分与定积分、重积分有着完全类似的性质。我们只叙述一下以下对计算有着重要作用的两个性质。

#### 线性性
性质1 (线性性) 设 $\alpha 、 \beta$ 是常数，则

$$
\int_L[\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)] d s=\alpha \int_L f(x, y) d s+\beta \int_L g(x, y) d s ;
$$

#### 对区间的可加性
性质2 (对区间的可加性) 设曲线弧 $L$ 由 $L_1$ 和 $L_2$ 组成，则

$$
\int_L f(x, y) d s=\int_{L_1} f(x, y) d s+\int_{L_2} f(x, y) d s ;
$$

## 对弧长的曲线积分可以化为定积分来计算
具体方法由下述定理给出:

### 情况1：参数方程模式
定理 1 设二元函数 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上连续.平面曲线 $L=A B$ 的参数方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{array}, \quad \alpha \leq t \leq \beta,\right.
$$

其中 $\varphi(t) 、 \psi(x)$ 及 $\varphi^{\prime}(t) 、 \psi^{\prime}(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 连续，且 $\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t) \neq 0$ ，则

$$
\boxed{
\int_L f(x, y) d s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t), \psi(t)) \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} d t .(\alpha<\beta)...(1)
} 
$$

定理的证明从略.

注 公式 (1) 表明，计算对弧长的曲线积分 $\int_L f(x, y) d s$ 时，只需将 $x, y, d s$依次替换为 $\varphi(t), \psi(t), \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} d t$ ，然后从到作定积分即可.

>必须注意的是积分的下限 $\alpha$ 一定小于积分上限 $\beta$.

`例`设曲线 $L$ 为 $\left\{\begin{array}{l}x=R \cos \theta, \\ y=R \sin \theta,\end{array} \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi\right.$ ，求 $I=\int_L y x^2 d s$ ．
解

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^\pi R \sin \theta(R \cos \theta)^2 \sqrt{R^2(-\sin \theta)^2+R^2 \cos ^2 \theta} d \theta \\
& =\int_0^\pi R^4 \cos ^2 \theta \sin \theta d \theta=-\left.R^4 \cdot \frac{1}{3} \cos ^3 \theta\right|_0 ^\pi=\frac{2}{3} R^4
\end{aligned}
$$

### 情况2：普通函数曲线模式
 
如果平面曲线 $L=A B$ 的方程为 $y=y(x), a \leq x \leq b(a<b)$ ，其中 $y(x)$ 在 $[a, b]$上具有一阶连续导数， $f(x, y)$ 在 $L$ 上连续，则

$$
\boxed{
\int_L f(x, y) d s=\int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x
}
$$

注 将 $y=y(x)$ 看作 $\left\{\begin{array}{c}x=x \\ y=y(x)\end{array}, a \leq x \leq b\right.$ 再利用公式（1）即可。

### 情况3：极坐标模式
如果平面曲线 $L=A B$ 的方程用极坐标表示：

$$
r=r(\theta), \quad \alpha \leq \theta \leq \beta(\alpha<\beta),
$$

其中 $\rho(\theta)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有一阶连续导数， $f(x, y)$ 在 $l$ 上连续，则

$$
\boxed{
\int_L f(x, y) d s=\int_\alpha^\beta f(r(\theta) \cos \theta, r(\theta) \sin \theta) \sqrt{r^2(\theta)+r^2(\theta)} d \theta
}
$$

注 可以把极坐标转化为参数方程形式 $\left\{\begin{array}{l}x=r(\theta) \cos \theta \\ y=r(\theta) \sin \theta\end{array}, \quad \alpha \leq \theta \leq \beta\right.$ ，再利用公式（1）.

## 对空间曲线弧 $\Gamma$ 上的曲线积分
对空间曲线弧 $\Gamma$ 上的曲线积分 $\int_{\Gamma} f(x, y, z) d s$ ，有着相似的计算结果.
**定理2** 三元函数 $f(x, y, z)$ 在空间曲线弧 $\Gamma$ 上连续.设空间曲线 $\Gamma=A B$ 的参数方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t), \quad \alpha \leq t \leq \beta \\
z=\omega(t)
\end{array}\right.
$$

其中 $\varphi(t) 、 \psi(x) 、 \omega(t)$ 及 $\varphi^{\prime}(t) 、 \psi^{\prime}(t) 、 \omega^{\prime}(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续，

$$
\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)+\omega^{\prime 2}(t) \neq 0
$$

则 $\int_{\Gamma} f(x, y, z) d s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)) \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)+\omega^{\prime 2}(t)} d t .(\alpha<\beta)$
定理的证明从略.

## 例题

`例` 计算 $\int_L \sqrt{y} d s$, 其中 $L$ 是抛物线 $y=x^2$ 上点 $O(0,0)$ 与点 $B(1,1)$ 之间的一段弧.

解： 如图$L$的方程为
 ![图片](/uploads/2024-10/4e5c56.jpg){width=300px}
 
$$
\begin{aligned}
& y=x^2(0 \leq x \leq 1) \\
& d s=\sqrt{1+\left(x^2\right)^{\prime 2}} d x=\sqrt{1+4 x^2} d x .
\end{aligned}
$$
因此

$$
\begin{aligned}
\int_L \sqrt{y} d s & =\int_0^1 \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{1+4 x^2} d x \\
& =\int_0^1 x \sqrt{1+4 x^2} d x \\
& =\left[\frac{1}{12}\left(1+4 x^2\right)^{3 / 2}\right]_0^1=\frac{1}{12}(5 \sqrt{5}-1)
\end{aligned}
$$

刷题

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